Тема 1.2.Умножение векторов на действительные числа

Литература: [1], §5, стр. 14-16; [2], §§ 2-4, стр. 14-19.

Основные определения, теоремы и формулы

Произведением вектора на действительное (вещественное) число называется вектор=, который удовлетворяет следующим условиям:

1) , гдеабсолютное значение числа,

2) , еслии, если<0.

Теорема: Для произвольных чисел и векторовсправедливы следующие равенства:

1) и,

2) ,

3) ,

4) .

Вопросы для самоконтроля

1. В каких случаях равно ?

2. Что можно сказать о векторах и, если известно, что уравнение: 1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесчисленное множество решений?

3. Пусть . Следует ли отсюда, что=?

Пример 1. По данным векторам ипостроить векторы:

1); 2);

Решение.Пусть и- данные векторы (см. рисунок):

1) Возьмем произвольную точку А пространства и построим векторы и. Тогда согласно определению суммы векторов вектор.

2) Возьмем произвольную точку М пространства и построим векторы и. Тогда согласно определению разности векторов.

Задачи

1. Дан вектор . Построить векторы: а); б); в).

2. Дано . Каким условиям должны удовлетворять числаи, чтобы точкаC принадлежала: 1) прямой AB, 2) лучу AB, 3) отрезку AB?

3. Записать с помощью векторов условие того, что четырехугольник ABCD является трапецией с основаниями AB и СD.

4. Точка M – середина отрезка AB, O – произвольная точка пространства. Доказать, что .

5. В треугольнике ABC отрезки AM и AN являются соответственно медианой и биссектрисой внутреннего угла. Выразить векторы и через векторы .

6. Доказать, что если ABCDEF – правильный шестиугольник, то .

7. Угол AOB меньше развернутого. Используя векторы и , найти вектор, параллельный биссектрисе данного угла.

Задачи повышенной трудности

1. Точка O пересечения диагоналей четырехугольника ABCD и M и N - середины его противоположных сторон AB и CD лежат на одной прямой. Доказать, что четырехугольник ABCD – трапеция или параллелограмм.

2. Даны правильный n – угольник A₁, A₂, … , A_n с центром O и произвольная точка M пространства. Доказать, что: а) б).

3. Доказать, что точка M – центр тяжести треугольника ABC тогда и только тогда, когда выполняется равенство .

Домашнее задание

1. По данным векторам ипостроить векторы:

а) 3; б) -2+.

2. Точка M – центр параллелограмма ABCD, а O – произвольная точка пространства. Доказать, что .

3. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ направленные отрезки, совпадающие с его ребрами, определяют векторы: . Построить каждый из следующих векторов: а)+-; б)++; в) --+.

4. Дан вектор , длина которого равна 3. Построить вектор, если его длина равна 5, и он направлен противоположно вектору,.

Тема 1.3.Коллинеарные и компланарные векторы.

Линейная зависимость векторов. Координаты вектора в векторном пространстве.

Литература: [1], §§ 6-7, стр. 16-24; [2], §§ 6,7, стр. 19-25.

Основные определения, теоремы и формулы

Два вектора, параллельные одной прямой, называются коллинеарными. Два ненулевых коллинеарных вектора либо одинаково, либо противоположно направлены. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Теорема1: Если векторы иколлинеарны и, то существует единственное числотакое, что.

Векторы иназываютсякомпланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Теорема2: Если векторы икомпланарны, а векторыне коллинеарны, то существуют единственные числаитакие, что.

Рассмотрим систему векторов и зададимn действительных чисел . Вектор

называется линейной комбинацией данных векторов .

Система векторов называетсялинейно зависимой, если существуют числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и такие что.

Если же равенство справедливо только при, то система векторовназываетсялинейно независимой.

Базисом векторного пространства называется система векторов, удовлетворяющая следующим трем условиям:

1) она упорядочена,

2) линейно независима,

3) всякий вектор пространства является линейной комбинацией векторов системы.

Число векторов базиса называется размерностью пространства.

Теорема 3. Если векторы ине компланарны, то для любого векторасуществуют единственные числаитакие, что.

Пусть B=() – базис векторного пространства V иV. Если, то числаназываютсякоординатами вектора относительно базиса B и записывают().

Теорема 4. Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых. При умножении вектора на число на это же число умножается каждая координата данного вектора.

Базис B называется ортонормированным, если базисные векторы единичные и взаимно ортогональные (перпендикулярные). Векторы ортонормированного базиса обозначаются.

Теорема 5. Длина вектора , заданного координатами в ортонормированном базисевычисляется по формуле

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое подсистема системы векторов?

2. Если система векторов линейно независима, то, что можно сказать о подсистеме? Сформулируйте обратное утверждение. Справедливо ли обратное утверждение?

3. Векторы иколлинеарны. Что можно сказать о зависимости системы векторови?

4. Если векторы икомпланарны, то можно ли утверждать, что система, состоящая из векторови, линейно зависима?

5. Верно ли утверждение: «Если вектор коллинеарен вектору, векторколлинеарен вектору, токоллинеарен»?

6. Что можно сказать о координатах: 1) равных векторов; 2) противоположных векторов?

7. Может ли система, состоящая из одного вектора, быть: 1) линейно зависимой; 2) линейно независимой?

8. Дан вектор относительно базисаB=() векторного пространстваV:

1. каковы координаты векторов относительно базисаB?

2. каковы координаты вектора относительно базисаB΄=()?

Пример 1.Даны неколлинеарные векторыи. Коллинеарны ли векторыи?

Решение 1. В разложении вектора вынесем за скобку:

. Тогда , что свидетельствует о том, что векторыиколлинеарны и противоположно направлены.

Решение 2. Неколлинеарные векторы иобразуют базис двумерного векторного пространства. Коэффициенты в разложении векторовипо векторамиявляются координатами этих векторов в указанном базисе. В этом базисе вектор Так как два вектора коллинеарны, если соответствующие коэффициенты в их разложениях по неколлинеарным векторам пропорциональны, то, проверяя это условие для векторов и:, убеждаемся в их коллинеарности.

Решение 3. Чтобы найти линейную зависимость между векторами и, надо из определяющих их равенств, исключить векторыи. Если этого сделать нельзя, то векторы ине коллинеарны.

Из первого разложения исключим вектор а: . Из второго разложения исключим вектор. Тогда из последних равенств имеем. Отсюда:. Что и свидетельствует о коллинеарности векторови.

Пример 2. Из точки О отложены два вектора и. Найти какой-нибудь вектор, параллелный биссектрисе угла АОВ.

Решение.

Найдем орты ивекторови . Отложим их от точки O и построим на них как на сторонах ромб. Так как диагональ ромба делит его углы пополам, то вектор , направлен по биссектрисе угла АОВ.

Пример 3. Даны три вектора (3, -1 ),(1, -2 ),(-1, 7). Определить разложение векторапо базису,.

Решение. Пусть () - базис, в котором заданы координаты векторов ,и, и пусть вектор в этом базисе имеет координаты (p₁,p₂). Зная координаты векторов ,и, найдем координаты вектора:p₁= 3 + 1 - 1, p₂= -1 -2 + 7 ), т. е. ( 3, 4 ).

Если и  -коэффициенты разложения вектора по базису,, то=+. Разложим векторы,ипо векторам базиса ():

=,=,=,=.

Тогда =+=

() + ().

Так как два вектора равны тогда и только тогда когда равны их соответствующие координаты, то 3 = 3+, 4= - - 2 , откуда =2 , = -3. Тогда =2- 3.

Пример 4. Разложить ветер, идущий со скоростью 10 м/с с северо-западного направления под углом к северу, на западную и северную компоненты.

Решение.

На рисунке вектор - вектор скорости ветра, а векторыи- его составляющие (восточная и южная ) компоненты. Так как АВСД - прямоугольник, то

= sin = 5  = =сos=5. Значит, восточная компонента равна 5 м/с, а южная 5 м/с.

Задачи

1. Доказать, что отношение коллинеарности векторов является отношением эквивалентности на множестве всех ненулевых векторов. Почему это отношение не будет отношением эквивалентности на множестве всех векторов?

2. Доказать, что если векторы ине коллинерны, то векторы+и=3-также не коллинеарны.

3. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, точки P и F – середины ребер AD и AA₁ соответственно. Выяснить, компланарны ли векторы: а); б) ; в); г).

4. Даны координаты трех векторов (-2,3,4),(7,0,2) и(-6,5,-1). Найти координаты векторов-3+и=4+5+3.

5. Дана трапеция ABCD (. Точки M и N – середины оснований AB и CD, P – точка пересечений диагоналей трапеции.

1. приняв векторы и за базисные, найти координаты векторов ;

2. найти координаты векторов

6. Установить, какие из следующих троек векторов ,илинейно зависимы, и в тех случаях, когда это возможно, представить векторкак линейную комбинацию векторови: а)(6,4,2),(-9,6,3),(-3,6,3); б)(5,2,1),(-1,4,2),(-1,-1,6); в)(6,-18,12),(-8,20,-16),(8,7,3).

7. Среди векторов ₁(0,-3,0), ₂(-2,0,5), ₃(0,2,-1), ₄(0,0,4), ₅(1,0,0), ₆(0,1,-3), ₇(1,-2,7), ₈(0,0,0), заданных в базисе (, указать векторы: 1)коллинеарные; 2) компланарные с векторамии.

8. Даны векторы ,и. Выяснить, являются ли они линейно зависимыми, если: а)(-3,0,2),(2,1,-4),(3,-2,4); б)(1,0,7),(-1,2,4),(3,2,1); в)(5,-1,4),(3,-5,2),(-1,-13,-2).

9. Дана треугольная призма ABCA₁B₁C₁. Приняв векторы за базисные, найти координаты вектора , гдеM – центр параллелограмма BCC₁B₁, N – центр тяжести треугольника A₁B₁C₁.

Задачи повышенной трудности

1. Доказать, что точка C лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда существует такое число λ, что = λ+(1- λ).

2. Доказать, что для любых векторов ,ии чисел α, β и γ векторы α- β, γ- α, β- γкомпланарны.

3. Дана трапеция ABCD, у которой нижнее основание AB в два раза больше верхнего CD. Выразить векторы ,через векторы =и=.

Домашнее задание

1. Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD. Приняв векторы за базисные, найти координаты векторов ,, где M – середина отрезка AD и (BC,P)=2. ((BC,P)=означает, что ).

2. Найти линейную зависимость между векторами: а) (1,3,0),(5,10,0),(4,-2,6); (11,16,3); б) (2,3,1),(5,7,0),(3,-2,4); (4,12,-3); в) (0,-3,4),(5,2,0),(-6,0,1); (25,-22,16).

3. Определить длины суммы и разности векторов и, если известны их координаты в ортонормированном базисе:(3,-5,8),(-1,1,4).