Основы формальной логики

ТЕСТ

1. Формализация - это… а) знаковая система;

б) термины, относящиеся к логической форме мысли; в) процесс записи с помощью символов логики высказыва-

ний некоторого выражения естественного языка; г) языковые выражения, обозначающие свойства, отноше-

ния и т.д.

2.Суждения по типу логических союзов делятся на: а) условные; б) соединительные;

в) разделительные; г) тождественные.

3.Нестрогая дизъюнкция – это…

а) сложное суждение с соединительным знаком «и»; б) сложное суждение с разделительным знаком «или»;

в) сложное суждение с разделительным знаком «или…или»; г) сложное суждение с условным знаком «если…то».

4.Какой символ применяется для обозначения логического союза «конъюнкция»?

а) ^ ; б) V ; в) V ; г) → .

5.Установите, какая из формул, приведенных ниже, соответствует структуре высказывания: «Если ты задумал сделать что-то хорошее, то делай и смотри смело вперед».

а) p → (q ^ r); б) p → (q v r); в) p v q ^ r; г) p ^ q ^ r.

6.Каким союзом нужно объединить два простых суждения, чтобы показать, что они оба истинны?

а) дизъюнкцией; б) импликацией;

в) нестрогой дизъюнкцией; г) конъюнкция.

7.Все управленческие решения были направлены на повышение эффективности производства, за исключением случаев, когда они осуществлялись с нарушением принятых технологий.

8.Товар представляет собой, прежде всего, предмет, и только тот предмет, который благодаря своим свойствам удовлетворяет какие-либо человеческие потребности.

9.Лишь высококвалифицированные специалисты могут провести эту компанию.

10.«Самый сильный тот, у кого есть сила управлять самим собой» (Сенека).

Образец. «Все честные люди, и только они, способны делать добро». Здесь имеет место общеутвердительное выделяющее суждение, так как слова (и только они) указывают на то, что между объемами субъекта суждения «честные люди» и предиката «способны делать добро» существует отношение равнозначности, а не подчинения. Схема: S и только S есть P.

Упражнение 6. Постройте логический квадрат. Опираясь на него, выведите суждения противоположные (контрарные), противоречащие (контрадикторные) и подчиненные данному.

1.Негативная ситуация – это всегда задача со многими неизвестными.

2.Некоторые студенты являются именными стипендиатами.

3.Кое-кто из специалистов не справился с заданием.

4.Не бывает людей, которые ни в чем не ошибаются.

5.Не бывает трудностей, которые нельзя преодолеть.

6.«Благоразумие – лучшая черта храбрости» (У. Шекспир).

7.«Благоразумный человек считает себя ответственным только за то, что налагается на него обязанностями» (А. Смит).

8.«Возможность украсть создает вора» (Ф. Бекон).

9.Не многие знают самих себя.

10.Каждый гражданин имеет право заниматься предпринимательской деятельностью.

Указание. Для того чтобы выполнить это задание, необходимо:

–определить вид исходного суждения по количеству и ка-

честву;

–указать вид суждения по объединенной классификации;

–используя логический квадрат, установить вид суждений, которые находятся к первому в отношении противоположности (контрарности), подчинения, противоречия (контрадикторности).

Образец. «Негативная ситуация (S) – это всегда задача со многими неизвестными (P)». По качеству суждение утвердительное, по количеству – общее (квантор «Всякая»), по объединенной классификации – общеутвердительное суждение – (А).

Схема: Все S есть P

A – E (Все S не есть P) – отношение противоположности. A – I (Некоторые S есть P) – отношение подчинения.

A – O (Некоторые S не есть P) – отношение противоречия. Подставляя субъект «негативная ситуация» и предикат «за-

дача со многими неизвестными» в схемы суждений E, I, O, получаем соответственно искомые суждения:

E – общеотрицательное суждение: «Всякая негативная ситуация не есть задачей со многими неизвестными»;

I – частноутвердительное суждение: «Некоторая негативная ситуация есть всегда задача со многими неизвестными»;

O – частноотрицательное суждение: «Некоторая негативная ситуация не есть задачей со многими неизвестными». Схема 1.

Упражнение 7. Определите отношения между категорическими суждениями:

1.Управление превратилось в вид профессиональной деятельности. – Управление не превратилось в вид профессиональной деятельности.

Знание может быть фактически истинным (F-u) и фактически ложным (F-л), а также логически истинным (L-u) и логически ложным (L-л).

Например: «С изменением причины изменяется и следствие». Данное суждение (р) – фактически необходимое.

Контрольные вопросы

1.Какие суждения называются сложными?

2.Как разделяют сложные суждения по типу логических связок и как выглядят их логические схемы?

3.Чем обусловлена истинность или ложность сложных суждений*

4.Как называется сложное высказывание, истинное только тогда и только тогда, когда все составляющие его простые высказывания истинны?

5.Как называется сложное высказывание, истинное только тогда и только тогда, когда истинно одно из входящих в него высказываний?

6.Как называется сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда составляющие его высказывания либо вместе истинны, либо вместе ложны?

7.Как называется сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание (антецедент) истинно, а последующее (консеквент) ложно?

8.Чем предопределяется структура таблицы истинности сложных высказываний?

9.Что такое модальность суждений?

Термин «деонтическая модальность» означает обязанность. Это выраженное в суждении предписание в форме совета, пожелания, правила поведения, приказа, побуждающего человека к конкретным действиям. Они выражаются с помощью операторов: О – обязывание, F– запрещение, Р– разрешение. Подлежащее исполнению действие обозначается символом d, участники правоотношения – х, у, z и т. д.

Среди норм права различают правообязывающие, правозапрещающие и правопредоставляющие2.

Правообязывающие нормы формируются с помощью слов «обязан», «должен», надлежит», «признается» и другие. Символически правообязывание обозначается оператором O(d). Например: «Каждый обязан сохранять природу и окружающую среду, бережно относиться к природным богатствам» (Ст. 58 Конституции РФ).

Правозапрещающие нормы формулируются с помощью слов: «запрещается», «не вправе», «не может», «не допускается» и др. Символически правозапрещение обозначается F(d), что означает: «действие запрещается». Например: «Обвиняемый не обязан доказывать свою невиновность», «Никто не может быть повторно осужден за одно и то же преступление».

Правопредоставляющие нормы формулируются с помощью слов: «имеет право», «может иметь», «может принять» и другие. Символически обозначается f(d), т. е. предоставляется право выполнить d. Например: «Каждому гарантируется судебная защита его прав и свобод», «Каждый задержанный, заключенный под стражу, обвиняемый в совершении преступления имеет право пользоваться помощью адвоката (защитника) с момента соответственно задержания, заключения под стражу или предъявления обвинения».

Термин «алетическая модальность» означает необходимость. Модальные суждения этого типа направлены на утверждение или отрицание степеней необходимости нашего знания либо возможности – невозможности информации о логической или фактической обусловленности суждения.

2 Толпыкин В.Е. Логика: Учеб. пособие / В.Е. Толпыкин, Ю Т.В. Толпыкина. – М. : Издательство Московского психолог–социального университета; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 2004. – С. 54.

2. Не каждый человек грамотен. – Некоторые люди грамот-

ные.

3.Всякое открытие ведет к новым проблемам. – Не всякое открытие ведет к новым проблемам.

4.Некоторые адвокаты обладают ораторскими способностями. – Некоторые адвокаты не обладают ораторскими способностями.

5.Некоторые действия не кажутся безвредными. – Не все действия не кажутся безвредными.

6.Всякое событие имеет последствия. – Нет ни одного события, которое не имело бы последствий.

7.Выводы венчают спор. – Некоторые выводы не венчают

спор.

8.Часть осужденных к лишению свободы содержится в ис- правительно-трудовой колонии. – Часть осужденных к лишению свободы не содержится в исправительно-трудовой колонии.

9.Хорошая аудитория – залог успешного ведения коммуникативной компании.

Не всякая хорошая аудитория – залог успешного ведения коммуникативной компании.

10.Некоторые методы следственно-розыскной работы строятся с учетом территориального принципа. – Некоторые методы следственно-розыскной работы не строятся с учетом территориального принципа.

Образец. «Все студенты допускаются к сдаче экзаменов. – Некоторые студенты не допускаются к сдаче экзаменов». Указанные суждения сравнимы, так как субъекты и предикаты идентичны.

Определим виды суждений. Первое суждение «Все студенты (S) есть допускающие к сдаче экзаменов (P)» – А (общеутвердительное суждение), второе – «Некоторые студенты (S) не есть допускающие к сдаче экзаменов (P)» – О (частноотрицательное суждение). На логическом квадрате отношение между А и О указывают на противоречие.

Упражнение 8. При помощи логического квадрата установите все возможные суждения данному суждению. Определите их истинность или ложность.

1.Каждый профессиональный юрист имеет свой уровень мастерства.

2.Не бывает людей, которые ни в чем не ошибаются.

4.Ничто не вечно под луной.

5.Не всякому студенту приходится пересдавать экзамены.

6.Полемика при ясности авторской позиции – действительна и животворна.

7.Право на самоуправление – это одно из самых основных среди всех моральных прав.

8.Безапелляционность оборачивается помехой делу.

9.Каждая юрисдикция имеет свои границы.

10.Доходы бывают не только легальными.

Образец. «Каждый профессиональный юрист имеет свой уровень мастерства». Определим вид суждения: находим субъект («профессиональный юрист (S)»), предикат («свой уровень мастерства (P)»), связку («имеет»), кванторное слово («каждый»). Это суждение принимает значение «истина», так как соответствует объективной реальности. Формула: Все S есть P, символ – А (общеутвердительное суждение). Используя логический квадрат, построим все возможные суждения:

А(и) – Е(л) – (Все S не есть P) – «Каждый профессиональный юрист не имеет свой уровень мастерства»;

А(и) – О(л) – (Некоторые S не есть P) – «Некоторые профессиональные юристы не имеют своего уровня мастерства»;

А(и) – I(и) – (Некоторые S есть P) – «Некоторые профессиональные юристы имеют свой уровень мастерства».

Упражнение 9. Проверьте логическую состоятельность следующих суждений, построенных на основе логического квадрата; укажите, в каких примерах допущены ошибки, в чем они заключаются.

1 Истинно то, что некоторые люди имеют лидерские качества; значит, истинно то, что некоторые люди не имеют лидерских качеств.

Сложные суждения, в которых среди истинностных значений встречается и истина, и ложь, называются фактическими (выполнимой формулой).

З. Понятие о модальности суждений. Виды модальных высказываний

Основной функцией суждений является отражение связей между предметами и его признаками. Кроме основной информации суждения могут нести и дополнительную информацию о характере и типе выраженных в них связей.

Например: «Политика должна согласовываться с законами, а не законы с политикой». Такого рода дополнительна информация называется модальностью.

Модальными называются высказывания, выражающие связь между предметом и мыслью о нем с помощью модальных операторов.

Модальность – это характеристика или оценка высказывания, которую дают с той или иной точки зрения.

К основным модальностям традиционно относят эпистемическую, деонтическую и алетическую модальности.

Термин «эпистемическая модальность» изначально выра-

жает достоверность знания. Модальные суждения этого типа направлены на утверждение или отрицание степеней достоверности нашего знания. Для них характерны высказывания с операторами «известно», «неизвестно», «доказуемо», «опровержимо», «предположительно» и т.п.

Эпистемическим, например, будет высказывание «Неверно, что для привлечения к уголовной ответственности достаточно признания обвиняемого».

По эпистемической модальности, выражающей степень обоснованности суждений, суждения делятся на достоверные и проблематичные (вероятные). Достоверные суждения выражаются с помощью операторов: доказано (верифицировано) и опровергнуто (фальсифицировано). Проблематические суждения выражаются с помощью оператора вероятно.

5.Для каждого суждения степени 1 при помощи таблиц для логических союзов и значений, которые принимают входящие в него простые суждения в данной строке, выписываем истинностное значение этого суждения в виде столбца под этим суждением.

6.Выписываем все суждения степени 2 по порядку слева направо.

7.Для каждого суждения степени 2 при помощи таблиц логических союзов и истинностных значений простых суждений и суждений степени 1 выписываем его столбец истинностных значений.

Приведем доказательство истинности следующего сложного суждения, состоящего из трех простых суждений: «Если гражданин РФ достиг пенсионного возраста (p) и имеет необходимый стаж работы (q), то ему начисляется пенсия (r)». Записываем формулу: (p ^ q) → r

Итоговая истинностная таблица будет иметь вид:

Мы видим, что наше суждение истинно в 7 случаях и ложно только в 1 случае (строка 3), когда p и q – истинно, а r – ложно.

Сложные суждения (и соответствующие им формулы) могут быть трех типов:

Сложные суждения, которые во всех строках таблицы принимают значение «истина», называются логически истинными (тождественно-истинной формулой, иначе она называется законом логики, или тавтологией).

Сложные суждения, которые во всех строках таблицы принимают значение «ложь», называются логически ложными (тожде- ственно-ложной формулой, иначе она называется противоречием).

2Ложно то, что некоторые люди превосходно умеют организовать свои знания; значит, ложно то, что некоторые люди превосходно не умеют организовать свои знания.

3Истинно то, что нет трудностей, которых нельзя преодолеть; значит, ложно то, что не всякая трудность преодолима.

5Ложно то, что не существует абсолютно здоровых людей; значит, ложно и то, что все люди здоровы.

6Ложно то, что во всех действиях бывают ошибки; значит, истинно то, что в некоторых действиях есть ошибки.

7.Ложно то, что некоторые политики не имеют возможностей для лидерства; значит, истинно то, что все политики имеют возможности для лидерства.

8.Истинно то, что приобретать познания еще недостаточно для человека; значит, ложно и то, что не приобретать познания недостаточно для человека.

9.Ложно то, что не существует полной защиты населения; значит, ложно и то, что всякая защита населения неполна.

10.Ложно то, что все специалисты с высшим образованием имеют высокие духовно-нравственные качества; значит, истинно то, что некоторые специалисты с высшим образованием имеют высокие духовно-нравственные качества.

Указание. Для того чтобы выполнить это задание, необходимо:

– определить вид каждого суждения по количеству и каче-

ству;

–указать вид суждения по объединенной классификации;

–используя логический квадрат, установить вид отношения суждений:

–проверить логическую состоятельность суждений, то есть могут ли они быть вместе истинными или ложными.

Образец. «Истинно то, что некоторые люди имеют лидерские качества; значит, истинно то, что некоторые люди не имеют лидерских качеств».

Определяем суждения на вид по количеству и качеству, чтобы установить, в каком отношении они находятся. Так, суждение «Некоторые люди имеют лидерские качества» является частноутвердительным (I), а суждение «Некоторые люди не имеют ли-

дерских качеств» – частноотрицательным (О). По логическому квадрату эти суждения находятся в отношении частичной совместимости (субконтрарности: I – O ). Поскольку при истинности одного из частных суждений другое может быть как истинным, так и ложным, то истинного частноотрицательного суждения с необходимостью не следует.

Упражнение 10. Могут ли быть правы оба человека, если один из них высказывает из нижеследующих пар первое суждение, а другой – второе?

1.Все книги могут помочь людям достичь успеха в жизни. – Некоторые книги могут помочь людям достичь успеха в жизни.

2.Не всякий работник хороший специалист. – Некоторые специалисты хорошие работники.

3.Не существует полной демократии. – Каждая демократия неполна.

4.Не всякий человек обладает творческими способностями.

–Некоторые люди обладают творческими способностями.

5.Неверно, что некоторые мероприятия являются особо удачными. – Не все мероприятия являются особо удачными.

6.Всякий юрист умеет работать с людьми. – Некоторые юристы умеют работать с людьми.

7.Во всех библиотеках есть необходимые книги. – В некоторых библиотеках есть необходимые книги.

8.Некоторые действия депутатов не вполне понятны общественности. – Все действия депутатов вполне понятны общественности.

9.Язык является чудесным средством обмена информации.

–Язык не является чудесным средством информации.

10.Ответственность – это то, чего больше всего боятся люди. – Всякая ответственность – это то, чего больше всего боятся люди.

Образец. «Не всякая работа приносит удовлетворение. – Ни одна работа не приносит удовлетворения». Определяем вид первого и второго суждений исходя из того, что они должны иметь одинаковый субъект («работа») предикат («приносит удовлетворение»). Первое суждение имеет отрицание. Поскольку отноше-

Конъюнкция (p ^ q) принимает значения «истина» тогда, когда оба простых суждений (p и q) истинны.

Нестрогая дизъюнкция (p v q) принимает значения «истина» тогда, когда хотя бы одно из простых суждений (p или q) истинно.

Строгая дизъюнкция (p v q) принимает значения «истина» тогда, когда одно простое суждение истинно.

Импликация (p → q) истинна во всех случаях, кроме одного: когда первое суждение (p - антецедент) истинно, второе суждение (q - консеквент) ложно, т. е. когда предшествующее (основание) есть, а последующего (следствия) нет.

Эквиваленция (p ≡ q) принимает значения «истина» тогда, когда оба суждения (p и q) истинны, либо оба ложны.

Отрицание (¬ p) истины дает ложь, и наоборот.

Если в формулу входят более двух переменных, то таблица истинности строится следующим образом:

1.На входе записываются все простые суждения, которые входят в сложное суждение, пусть число их будет n.

2.Вычисляем число строк в таблице по формуле k =2n, где k

–число строк, n – количество суждение (в нашем случае 3). Следовательно, число строк будет равно 8.

3.В столбцах входа таблицы выписываем все возможные комбинации истинностных значений простых суждений. Алгоритм распределения значений И и Л для трех переменных (p, q, r) таков:

4. На выходе таблицы по порядку слева направо выписываем все суждения степени 1.

В логике высказываний формулы рассматриваются лишь с точки зрения их истинности или ложности. Принцип, в соответствии с которым, высказывание может быть только истинным или ложным, получил в логике название принципа двузначности. Истинность или ложность сложных суждений зависит от истинности или ложности простых суждений.

Определение истинности или ложности конкретных простых суждений – дело не логики, а конкретного исследования состояния мира, внелогической реальности. Поэтому мы будем считать, что значения истинности (истина или ложь) даны нам извне.

Поскольку сложные суждения получаются из простых суждений, то необходимо выяснить смысл логических союзов, то есть построить для них семантику. Строить ее можно при помощи так называемых таблиц истинности.

2. Определение истинности формул языка логики высказываний. Таблица истинности

Истинностные значения сложных суждений определяются путем построения истинностных таблиц. Эти таблицы были придуманы австрийским логиком и философом Людвигом Витгенштейном еще во время первой мировой войны. Для построения истинностных таблиц нужно задать точный смысл логических связок их табличными определениями.

Из таблицы видно, что формулы, образованные с использованием логических союзов получают следующие истинностные значения.

ние по логическому квадрату можно устанавливать только между суждениями без внешнего отрицания, преобразуем его в эквивалентное – «Некоторая работа не приносит удовлетворение» – О.

Второе суждение: «Ни одна работа не приносит удовлетворения» – Е. Отношение между О и E – подчинение (от второго к первому), при котором оба суждения могут быть истинными. Значит, оба человека правы, т.е. ответ утвердительный. Отношение между О и Е – подчинение (от первого ко второму), при истинности первого (частного суждения) второе (общее суждение) может быть как истинным, так и ложным. Значит, оба человека с необходимостью не могут быть правы.

ЛЕКЦИЯ 4

ЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

ИУСЛОВИЯ ИСТИННОСТИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

1.Сложные суждения и их виды. Формализованный язык классической логики высказываний.

2.Определение истинности формул языка логики высказываний. Таблица истинности.

3.Понятие о модальности суждений. Виды модальных высказываний.

Тест

Практикум

1. Сложные суждения и их виды. Формализованный язык классической логики высказываний

Сложным суждением называют суждение, состоящее из нескольких простых суждений, соединенных посредством логических связок (союзов).

Любую языковую конструкцию, состоящую из нескольких простых суждений, можно перевести на символический язык. Для этого необходимо заменить суждения логическими переменными, а связь между ними – логическими союзами. От того, при помощи какого союза связываются переменные, зависит логическая особенность сложного суждения, его форма.

Логической формой сложного суждения называют запись на языке логики высказываний, в которой простые суждения заменены на символы. Язык логики высказываний – это искусственный язык, предназначенный для анализа логической структуры сложных суждений, условий их истинности, способов выводов одних высказываний из других.

Алфавит языка логики высказываний содержит в качестве исходных знаки символы для простых суждений, логические связки и скобки:

1. Пропозициональные переменные: p, g, r, s, t, ….

Эти знаки предназначены для обозначения простых высказываний естественного языка.

2. Знаки логических союзов: ^ – конъюнкция (союз «и»); V – дизъюнкция (союз «или»);

V– строгая дизъюнкция (союз «или…или»);

→– импликация (союз «если..., то…»);

≡ – эквиваленция или двойная импликация (союз «только и только тогда, когда…»),

¬ – отрицание («неверно, что…»).

Эти знаки предназначены для обозначения грамматических союзов естественного языка и некоторых видов пунктуации.

3.Технические знаки:

(,)– левая и правая скобки и запятые.

В соответствии с функциями логических союзов основными видами сложных суждений являются:

1)конъюнктивные (соединительные) – (р ^ q):

2)дизъюнктивные (разделительные), нестрогую дизъюнк-

цию – (р V q);

строгую дизъюнкцию – (р V q);

3)имликативные (условные) – (p → q);

4)эквивалентные (тождественные) – (р ≡ q);

5)отрицание – ¬ p.

Используя знаковые средства языка логики высказываний и определенные формулы, можно формализовать любое высказывание естественного языка, то есть заменить его формулой, которая будет выражать его логическую форму. Например, в сложном суждении «Предлагаемая информация должна быть тщательно подготовленной, способной ответить на основные вопросы журналистов» заменим простые суждения на пропозициональные переменные нашего языка. Суждение «Предлагаемая информация должна быть тщательно подготовленной» – на p, а суждение «Предлагаемая информация должна быть способной ответить на основные вопросы журналистов» – на q. Учитывая, что запятая означает импликативную связь между простыми суждениями, можем записать следующую формулу: (р ^ q).