17-11-2015_11-58-24 / Эконометрика (электронный конспект)

В соответствии с материалом Темы 3

t-статистика для коэффициента β1 для проверки гипо-

тезы β1 =1 строится по формуле:

t (b1 )= b1 −1

(75)

s(b )

1

yt = µ + εt + θεt −1

(1)

E (εt )= 0 ,

var(εt )= σ2 ,

cov(εt ,εs )= 0 .

(2)

В силу (1), (2):

E (yt )= µ ,

(3)

γ0 = var(yt

)= (1+ θ2 )σ2

(4)

Найдем ковариацию γ1 = cov(yt , yt −1 ).

В силу (1):

yt −1 = µ + εt −1 + θεt −2

(5)

В силу (1), (2), (5):

cov(yt , yt −1 )= E (εt + θεt −1,εt −1 + θεt −2 )= θσ2

Итак,

γ1 = θσ2

(6)

Найдем ковариацию γk = cov(yt , yt −k ), где k ≥ 2 .

В силу (1):

yt −k = µ + εt −k + θεt −k −1

(7)

В силу (1), (2), (7)

γk = 0

k ≥ 2

(8)

ρ =

θ

(9)

1+ θ2

1

Из равенства (9) следует, что

ρ1

≤ 0,5

(10)

ρ θ2

−θ+ρ = 0

(11)

1

1

µˆ = y

(14)

ˆ

1−

1− 4r2

1

,

(15)

θ =

2r1

σ2 =

γ0

(16)

1+ θ2

s2 =

g0

(17)

1

ˆ

2

+ θ

Прогнозирование

Прогнозирование на один период вперед.

В силу (1):

yn+1 = µ + εn+1 + θεn

(18)

Отсюда:

E (yn+1 | y1, , yn )= µ + θE (εn | y1, , yn )

(19)

εt = yt −µ −θεt −1

(20)

Следовательно:

E (εt | y1

, , yn )= yt

−µ −θE (εt −1 | y1, , yn )

t =

(21)

1,n

В частности:

E (ε1 | y1

, , yn )= y1

−µ −θE (ε0 | y1, , yn )

(22)

ˆ

(23)

yˆn+1 = y + θεˆn ,

εˆ0 = 0

(24)

ˆ

t =1,n

(25)

εˆt = yt − y −θεˆt −1

Прогнозирование на несколько периодов вперед

В силу спецификации модели (1):

yn+k = µ + εn+k + θεn+k −1

(26)

Следовательно,

E (yn+k | y1, , yn )= µ

k ≥ 2

(27)

yˆn+k = y , k ≥ 2

(27’)

q

yt = µ + εt + ∑θiεt −i

(28)

E (εt )= 0 , var(εt )= σ2 ,

cov(εt ,εs )= 0 .

(29)

В силу (28):

E (yt )= µ

(30)

γ0

q

(31)

= var(yt )= 1+

∑θi2 σ2

i=1

Найдем ковариацию cov(yt , yt −k )

В силу (28):

k −1

q

yt

= µ + εt + ∑θiεt −i + ∑θiεt −i

при k ≤ q

(32)

i=1

i=k

q

yt −k = µ + εt −k + ∑θiεt −k −i

(33)

i=1

Следовательно, при k ≤ q в силу (29):

k

−1

q

q

cov(yt , yt −k )= E εt + ∑θiεt −i

+ ∑θiεt −i ,εt −k

+ ∑θiεt −k −i

=

i=1

i=k

i=1

q

q

q−k

q

= E

∑θiεt −i ,εt −k

+ ∑θiεt −k −i

= E ∑θk +iεt −k −i ,εt −k + ∑θiεt −k −i

=

i=k

i=1

i=0

i=1

q−k

q−k

q

= E

∑θk +iεt −k −i ,

εt −k

+ E ∑θk +iεt −k −i ,∑θiεt −k −i

=

i=0

i=0

i=1

q−k

= θk + ∑θk +iθi

σ2

i=1

Итак,

q−k

γk = cov(yt , yt −k )= θk

+ ∑θk +iθi σ2

k ≤ q

(34)

i=1

Из (28), (33), (29) вытекает, что

γk = cov(yt , yt −k )= 0

k > q

(35)

q−k

ρk =

θk + ∑θk +iθi

k ≤ q

(36)

q

i=1

1+ ∑θi2

i=1

ρk = 0

k > q

(37)

Оценивание параметров

В силу (30) в качестве оценки µˆ

параметра µ можно взять y :

µˆ = y

(38)

ˆ

параметров θi , i =1,q , можно находить с помощью следую-

В силу равенств (36) оценки θi

щей системы (нелинейных) уравнений:

ˆ

q

−k

ˆ

ˆ

θk

+ ∑θk

+iθi

(39)

i

q

= rk , k =1,q

=1

ˆ

2

1+ ∑θi

i=1

где rk

– выборочный коэффициент ковариации между yt и yt −k .

В силу (31):

σ2

=

γ0

(31)

q

1+ ∑θi2

i=1

Следовательно, оценку s2 параметра σ2 можно находить по формуле:

s2

=

g0

,

(32)

q

ˆ2

1+ ∑θi

q

yn+k = µ + εn+k + ∑θiεn+k −i

(33)

i=1

Следовательно, при k ≤ q :

k −1

q

yn+k = µ + εn+k + ∑θiεn+k −i

+ ∑θiεn+k −i

(34)

i=1

i=k

В силу (34):

q

E (yn+k | y1, , yn )= µ + ∑θi E (εn+k −i | y1, , yn )

(35)

q−k

E (yn+k | y1, , yn )= µ + ∑θk +i E (εn−i | y1, , yn )

(36)

i=0

Найдем формулы для E (εn−i | y1, , yn ).

В силу (28):

q

εt = yt −µ − ∑θiεt −i

(37)

i=1

Следовательно,

E (εt | y1, , yn )= yt

q

−µ − ∑θi E (εt −i | y1, , yn )

(38)

i=1

В частности:

E (ε1 | y1, , yn )= y1

q

−µ − ∑θi E (ε1−i | y1, , yn )

(39)

q−k ˆ

yˆn+k = µˆ + ∑θk +iεˆn−i ,

(40)

i=0

где значения εˆn−i

находится рекуррентным образом с помощью формул:

εˆ1−i = 0 , i =

1,q

q ˆ

εˆt −i , t =1,n

(41)

εˆt = yt −µˆ − ∑θi

E (εt )= 0 ,

var(εt )= σ2 ,

cov(εt ,εs )= 0 .

(2)

Будем считать, что случайный процесс yt

является стационарным (в слабом смысле), т.е.

E (yt )= m ,

var(yt )= γ0 , cov(yt , yt −k )= γk

t

(3)

В силу (1)-(3):

p

m = β0 + ∑βim

(4)

i=1

Отсюда:

m =

β0

(5)

p

var(yt )= E (yt − m)2

p

q

= E

∑βi (yt −i − m)+ εt + ∑θjεt − j

(yt − m)

=

i=1

j =1

= E

p β

i (

y

− m

y

− m

+ E ε

t (

y

− m

+ E

q

θ

ε

t − j

(

y

− m

=

∑

t −i

)( t

)

t

)

∑ j

t

)

i=1

j =1

p

q

= ∑βi cov(yt −i , yt )+ cov(εt , yt )+ ∑θj cov(εt − j , yt )

i=1

j =1

Обозначим:

∆yt = yt − yt −1

(1)

∆2 y

= ∆y − ∆y

(2)

t

t

t −1

∆k y

= ∆k −1 y − ∆k −1 y

(3)

t

t

t −1

Случайная последовательность y

называется рядом ARIMA(p,q,r), если ряд ∆r y

является

t

t

(стационарным) рядом ARMA(p,q), т.е. ряд ∆r y

является стационарным (в слабом смысле) и

t

p

q

∆r yt = β0 + ∑βi∆r yt −i + εt + ∑θjεt − j

(4)

i=1

j =1

E (εt )= 0 , var(εt )= σ2 , cov(εt ,εs )= 0 .

(5)

ARMA(p,q) для ряда yr = ∆r y ,

t =

r +1,n

t

t

Прогнозирование осуществляется в два этапа.

На первом этапе находятся прогнозные значения yˆr

ряда yr = ∆r y

в рамках модели

t +k

t

t

ARMA(p,q).

Затем находятся прогнозные значения yˆl ,

t =

для l =

n +1,n + k

1,r −1 рекуррентным образом

t

(начиная с l = r −1) по следующим образом.

Вначале находится значение yˆnl +1

по формуле:

yˆnl +1 = yˆnl ++11 + ynl

(6)

Затем рекуррентным образом находятся значения yˆl

при t =

по формуле:

n + 2,n + k

t

yˆl

= yˆl +1 + yˆl

(7)

t

t

t −1

После того, как уже найдены значения yˆ1 ,

t =

, находится значение yˆ

по форму-

n +1,n + k

n+1

t

ле:

yˆn+1 = yˆ1n+1 + yn

(8)

Затем рекуррентным образом находятся значения yˆt

при t =

по формуле:

n + 2,n + k

yˆ

= yˆ1 + yˆ

(9)

t

t

t −1

Порядок r

модели ARIMA(p,q,r) – это наименьшее значение r , при котором ряд ∆r y явля-

t