17-11-2015_11-58-24 / Эконометрика (электронный конспект)

6. Временные ряды

Временной ряд представляет собой последовательность значений какого-либо фактора, взятых в разные моменты времени. Например, y1, y2 , , yn – выпуск предприятия за первый, второй и т.д. годы. В этом случае, индекс t соответствует временному периоду для соответствующего показателя.

Часто для исследования временных рядов используются лагированные (лаговые) переменные. Например, yt выпуск предприятия в год t может зависеть не только от инвести-

ций xt в этот год, но и от инвестиций в предыдущие годы:

Динамические модели вида (1), в которых в качестве объясняющих переменных не используются лагированные значения зависимой переменной, называются моделями с распределенными лагами. Модели вида (2) – авторегрессионными моделями.

Модели с распределенными лагами

Модели с распределенными лагами (с конечным числом лагов):

являются частным случаем моделей множественной линейной регрессии, рассмотренных нами ранее. Поэтому все методы, разработанные для моделей множественной линейной регрессии, пригодны и для моделей с распределенными лагами (прежде всего, МНК и ОМНК).

Отметим, что в качестве независимых переменных в модели (3) могут быть использованы лагированные значения нескольких (разных) показателей.

Для определения количества лагов m используется метод последовательного увеличения количества лагов. По данному методу модели (3) рекомендуется оценивать с последовательно увеличивающимся количеством лагов. Признаков завершения процедуры может быть несколько:

−При добавлении нового лага k какой-либо коэффициент регрессии меняет знак. (Тогда в уравнении регрессии оставляют переменные, при которых коэффициенты знак не поменяли.)

71

−При добавлении нового лага k соответствующий коэффициент βk регрессии становится статистически незначимым. (Тогда выбирается модель с количеством лагов k −1.)

Модель геометрических лагов

В этой модели предполагается, что количество лагов бесконечно:

k=0

акоэффициенты βk убывают в геометрической прогрессии:

βk = βλk , k ≥ 0 (5)

где 0 < λ <1 – константа, характеризующая скорость убывания коэффициентов регрессии. Подставив (5) в (4), получим:

Преобразование уравнения (4) в уравнение (11) называется преобразованием Койка. Согласно излагаемой методике уравнение (11) используется для оценки параметров модели и построения прогноза.

Следует отметить, что уравнение (11) содержит, во-первых, лагированное значение yt −1 за-

висимой переменной и, во-вторых, ошибки vt , не удовлетворяющие (в силу (10)) условиям

72

классической модели линейной регрессии. Поэтому МНК-оценки коэффициентов регрессии уравнения (11) являются смещенными и несостоятельными.

Для получения состоятельных оценок можно применять метод инструментальных переменных (взяв, например, xt −1 в качестве инструмента для yt −1 ) или воспользоваться методом максимального правдоподобия.

Модели авторегрессии

Модель AR(1)

yt = β0 +β1 yt −1 + εt , t =1,n (12)

где εt независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математиче-

ским ожиданием и постоянной дисперсией σ2 :

Из (12) в силу (13) и (14):

E (yt )= E (β0 +β1 yt −1 + εt )= β0 +β1m

Следовательно,

var(yt )= var(β0 +β1 yt −1 + εt )= β12 var(yt −1 )+ σ2 = β12γ0 + σ2

Следовательно,

Поскольку дисперсия всегда неотрицательна, из формулы (19) следует, что условие:

73

является необходимым условием стационарности процесса yt .

С другой стороны, можно доказать, что при выполнении условия (20) всегда можно построить стационарный процесс yt , для которого имеет место равенство (12) и выполнены усло-

вия (13).

В силу (1)-(4):

cov(yt , yt −1 )= cov(β0 +β1 yt −1 + εt , yt −1 )= β1 var(yt −1 )= β1γ0

cov(yt , yt −k )= cov(β0 +β1 yt −1 + εt , yt −k )= β1 cov(yt −1, yt −k )= β1γk −1

Функция, описывающая зависимость cov(yt , yt −k ) от k , называется ковариационной функ-

цией (стационарного) случайного процесса yt .

Таким образом, ковариационная функция процесса yt определяется формулой (22).

Напомним, что коэффициент корреляции ρk = ρ(yt , yt −k ) находится по формуле:

Функция, описывающая зависимость коэффициента корреляции ρ(yt , yt −k ) от k , называется,

автокорреляционной функцией (стационарного) случайного процесса yt .

Таким образом, автокорреляционная функция процесса yt определяется формулой (24).

Оценивание параметров

Выборочная ковариация gk = g (yt , yt −k ) вычисляется по формуле:

74

В соответствии с формулами (23), (25), (26) выборочный коэффициент корреляции

Автокорреляционная функция процесса yt оценивается с помощью формулы (25).

Поскольку E (y )= E (yt ), в качестве оценки параметра m = E (yt ) можно взять y .

Из формулы (17):

75

Прогнозирование Прогнозирование на один период вперед

Прогнозирование на несколько периодов вперед

С помощью формул (36), (39) рекуррентным образом можно построить прогноз на любое количество периодов вперед.

Модель AR( p)

i=1

где εt независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математиче-

Будем считать, что случайный процесс yt является стационарным (в слабом смысле), т.е.

76

Из (40) в силу (41) и (42):

1− ∑βi

i=1

p

=∑βi γi + σ2

i=1

Следовательно,

i=1

Найдем ковариацию cov(yt , yt −k ).

Оценивание параметров модели AR( p)

Выборочные коэффициенты корреляции rk вычисляются по формуле (27).

77

Заменив теоретические коэффициенты корреляции ρk на выборочные ρk получим систему линейных уравнений относительно оценок bi коэффициентов βi :

Итак, коэффициенты регрессии βi , i =1, p могут быть оценены по формуле (53). В силу (44):

Следовательно, в качестве оценки b0 параметра β0 можно взять:

i=1

Следовательно,

78

i=1

В силу формулы (59) в качестве прогноза yˆt +1 можно взять следующее значение:

Определение порядка авторегрессии

Доказано, что при k > p все значения частной автокорреляции ρ(yt +k , yt | yt +1, , yt +k −1 ) рав-

ны нулю.

Порядок авторегрессии равен значению p при котором:

С помощью реальных данных можно определить выборочный коэффициент частной автокорреляции.

Выборочный частный коэффициент автокорреляции находится в соответствии с изложенным выше методом (см. тему 5), а именно:

i=1

79

i=1

где β′i и β′′i коэффициенты регрессии, ε′t и ε′′t – случайные отклонения.

Найдем МНК-оценки βˆ′ и βˆ′′i коэффициентов β′i и β′′i

С помощью МНК-оценок βˆ′ и βˆ′′i построим прогнозные значения:

i=1

Спомощью найденных прогнозных значений найдем остатки регрессий:

k =0

Для стационарности процесса AR( p) необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения (73) (в том числе комплексные) лежали вне единичного круга, т.е. превосходили по модулю единицу.

80