Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

17-11-2015_11-58-24 / Эконометрика (электронный конспект)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

1.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

1)упорядочить данные по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность;

2)исключить d средних (в этом упорядочении) наблюдений (d должно быть примерно равно четверти общего количества наблюдений);

3)провести две независимые регрессии первых n2 − d2 наблюдений и последних n2 − d2

наблюдений и построить соответствующие остатки e1 и e2 ;

4) составить статистику F

e1T e1

∑et21

e2T e2

∑et22

Если верна нулевая гипотеза (8) о постоянстве дисперсий случайных отклонений, то

−

− m,

−

построенная статистика F имеет распределение Фишера с

− m степенями

свободы.

−

− m,

−

В случае, если F > Fc ρ;

− m нулевая гипотеза отвергается и, следо-

вательно,

можно

сделать

вывод

присутствии

гетероскедастичности; если

ρ;

−

− m,

−

, нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

F ≤ Fc

− m

Суть и причины автокорреляции Автокорреляция остатков (отклонений) в подавляющем большинстве случаев встречается в

регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция (т.е. когда

cov(εt ,εt −1 | X )> 0 ), нежели отрицательная.

Причины автокорреляции:

1)Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной обычно приводит к системным отклонениям точек наблюден6ий от линии регрессии.

2)Инерция. Многие экономические показатели обладают определенной цикличностью. Экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).

3)Сглаживание данных. Часто данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода.

Последствия автокорреляции

3)Оценки коэффициентов регрессии, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными, что (в частности) ухудшает прогноз.

4)Дисперсии и ковариации оценок являются смещенными. Это приводит к искажению значений статистик Стъюдента и Фишера, что негативным образом сказывается на результаты проверки гипотез и построении интервальных оценок.

Обнаружение автокорреляции

Выводы о независимости (либо зависимости) случайных отклонений εt делаются на основе их оценок et (т.е. на основе остатков регрессии).

Графический метод.

По оси абсцисс откладываются значения временного индекса t , по оси ординат – остатки et . В случае, когда точки (t,et ) разбросаны вокруг оси абсцисс случайным образом можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции, в противном случае – о ее наличии.

Тест Дарбина-Уотсона (Durbin-Watson)

Статистика Дарбина-Уотсона находится по формуле:

	n
DW =	∑(et −et −1 )2		(14)
	t =2
		n
		∑et2
		t =1
	Можно показать, что при наличии в модели свободного члена:
DW ≈ 2(1− r)			(15)

где r – выборочный коэффициент корреляции между остатками et и et −1 . В соответствии с соотношением (15):

0 ≤ DW ≤ 4,

(16)

причем близость значения DW к нулю означает близость коэффициента r к единице (т.е. положительную корреляцию остатков), близость DW к 2 означает, что r ≈ 0 (т.е. отсутствие автокорреляции), близость DW к 4 означает близость r к -1 (т.е. отрицательную автокорреляцию).

Для более точного определения, какое значение статистики свидетельствует об отсутствии автокорреляции, а какое – об ее наличии (и ее виде), найдены критические точки распределения Дарбина-Уотсона: dl (нижняя граница) и du (верхняя граница), зависящие от

числа наблюдений n , количества объясняющих переменных m и от уровня значимости ρ. Значения dl и du (зависящие от n , m и ρ) можно найти в таблицах.

Выводы о наличии и характере автокорреляции делаются по следующему правилу:

1)0 ≤ DW < dl – существует положительная автокорреляция

2)dl < DW < du – неопределенность (нельзя сделать вывод о наличии либо отсутствии авто-

корреляции)

3)du < DW < 4 − du – автокорреляция отсутствует

4)4 − du < DW < 4 − dl – неопределенность (нельзя сделать вывод о наличии либо отсутствии

автокорреляции)

5) 4 − dl < DWl ≤ 4 – существует отрицательная автокорреляция

Обобщенный метод наименьших квадратов

В общем случае ковариационная матрица var(ε| X ) может быть любой симметричной положительно определенной матрицей.

Для исследования модели в общем случае (в частности, при наличии гетероскедастичности либо автокорреляции) используется так называемый обобщенный метод наименьших квадратов (сокращенно ОМНК).

Изложим этот метод.

Основные гипотезы общей линейной регрессионной модели.

1)	Y = Xβ+ ε	(1)
2)	E (ε\| X )= 0	(2)
3)	var(ε\| X )= σ2Ω, где	(3)

Ω – симметричная положительно определенная матрица размера n ×n

4) ε| X N (0,σ2Ω)

(4)

Поскольку Ω симметричная положительно определенная матрица, обратная матрица Ω−1 также симметрична и положительно определена. Следовательно, существует такая симмет-

ричная положительно определенная матрица P = Ω−12 , что

P P = Ω−1

(5)

В частности, если Ω диагональная (случай гетероскедастичности):

	ω				0 ...				0
	01					ω ...			0
Ω =					2
Ω =
	....................
					0 ...
	0				0 ...				ωn
то
		1				0			...		0

				ω
			1		1
					1
		0							...		0
Ω−1 =		0						ω	...		0
					2

		....................
											1
			0		0 ...						1
			0		0 ...						ω
											ω
											n
и матрица P = Ω−12 имеет вид:
		1			0				...		0


			ω
			1
					1
	0								...		0

P =							ω2
P =							ω2
	....................
									1
									1
	0				0 ...

										ω
											n

(6)

(7)

(8)

Можно показать, что
PΩP = In			(9)
Умножим (1) слева на P :
PY = PXβ+ Pε			(10)
Обозначим:
Y = PY ,	X = PX ,	ε = Pε	(11)

В силу (11) равенство (10) можно записать:

Y = Xβ+ ε	(12)
В силу (2) и (11):
E (ε\| X )= E (Pε\| X )= PE (ε\| X )= 0 .
Следовательно,
E (ε\| X )= 0	(13)

В силу (3), (9), (11)

var(ε\| X )= E ε			εT \|	X	= E PεεT P \| X		= E PεεT P \| X	=

	T		2		2	In
= PE εε		\| X P	= σ	PΩP = σ		In
Следовательно,
var(ε\| X )= σ2In						(14)

Если отклонения ε распределены нормально (при условии X ), то и ε = Pε также распределены нормально (при условии X ).

Следовательно, для модели (12) выполнены условия классической линейной регрессионной модели. Поэтому все результаты, полученные для классической регрессионной модели, справедливы и для модели (12).

В соответствии с формулой для МНК-оценок коэффициентов регрессии для модели (12) в силу (5):

b = (X T X )−1 X TY = (X T PPX )−1 X T PPY = (X T Ω−1 X )−1 X T Ω−1Y .		(15)
Итак, МНК-оценка для модели (5):
b = (X T Ω−1 X )−1 X T Ω−1Y	(16)

Эта оценка называется ОМНК-оценкой для исходной модели (1).

Как следует из результатов для классической модели, ОМНК-оценка b является несмещенной и эффективной линейной оценкой вектора коэффициентов β.

В силу (5) в соответствии с формулой для ковариационной матрицы оценок коэффициентов β для классической модели:

Var b | X = σ2 (X T X )−1 = σ2 (X T PPX )−1 = σ2 (X T Ω−1 X )−1

Итак,

| X

= σ

Ω

−1

X )

−1

(17)

Var b

Обозначим:

(18)

= Xb

(19)

−Y

прогнозные значения и соответствующие остатки для исходной модели с использованием b .

Обозначим:
ˆ
		(20)
Y	= Xb

e	ˆ	(21)
	=Y −Y

прогнозные значения и соответствующие остатки для новой модели. В соответствии с формулой (3.32):

e = I − X	(X	T X )−1 X	T ε	(21’)

Всоответствии с результатами для классической модели случайные векторы b и e независимы.

Всоответствии с формулой (3.34):

Var[e | X ]

= σ2 In − X

(X T X )−1 X

(21’’)

В соответствии с формулой (3.35) для классической модели необъясненная дисперсия

для новой модели равна:

eT e

(22)

n − m

Величина s2 является несмещенной оценкой параметра σ2 .

Как следует из результатов для классической модели:

(n − m)

(22’)

σ2

В силу (11), (18)-(22):

ˆ T

n − m

e e

n − m

−Y )

−Y )=

n − m

− Xb) (Y −

Xb)=

= n −1 m (Y − Xb)T PP(Y − Xb)= n −1 m (e )T Ω−1e

Итак, величина s2 может быть найдена по формуле:


s2 =	1		(e )T Ω−1e							(23)
	n − m
Обозначим:
									−1
				2	(X	T		−1	X ) ,
		\| X = s					Ω			(39)
Var b
В силу несмещенности оценки s2										из (24) следует, что матрица (39) является несмещенной

оценкой ковариационной матрицы векторной МНК-оценки b .

| X

диспер-

Заметим, что элементы главной диагонали матрицы Var b | X

– оценки Var b

сий коэффициентов b . Следовательно, величины:

s(b

| X ) =

| X

(40)

Var b

можно считать оценками стандартных отклонений коэффициентов b .

При выполнении гипотезы (4) величины:

t (bi

bi −βi

(41)

s(b

| X )

являются t-статистиками для новой модели, и, следовательно, имеют распределение Стъюдента с n − m степенями свободы.

Поэтому, в соответствии с результатами для классической модели доверительные интервалы

для коэффициентов βi							определяются из равенства:
	{		( i )		c	}
P		t	b	≤ t		(ρ,n − m)	=1−ρ,	(42)

где ρ – уровень значимости, а tc (ρ,n − m) – соответствующая двусторонняя квантиль рас-

пределения Стъюдента с числом степеней свободы n − m .

В силу (41), (42)	интервальные оценки для коэффициентов βi		имеют вид:
			(43)
bi −tc (ρ,n − m)s(bi \| X ),		bi +tc (ρ,n − m)s(bi \| X )

Проверка гипотезы: Hβ = r

H – матрица размером q ×m , q ≤ m , rank(H ) = q , r – вектор-столбец длиной q .

В соответствии с результатами для классической модели, при выполнении гипотезы:

Hβ = r			(44)
величина:
	(Hb − r)T H (X T X )−1		H T −1	(Hb − r)
F =					(45)
F =		s2q			(45)
		s2q

имеет распределение Фишера (F-распределение) с (q,n − m) степенями свободы:

F F(q,n − m)						(46)
Поскольку в силу (5), (11)
	T	T	Ω	−1	X	(47)
X	X = X

статистика (45) может быть записана в виде:

	(Hb − r)T H (X T Ω−1 X )−1	H T	−1	(Hb − r)
F =					(48)
F =	s2q				(48)
	s2q

Отметим, что в силу формулы (39) формулу (48) можно также записать в виде:

		T			H	T	−1

F =	(Hb	− r) H Var b		\| X				(Hb − r)	(48’)
F =			q						(48’)
			q

Напомним, что при выполнении гипотезы (44) имеет место равенство:

P{F ≤ Fc (ρ;q,n − m)}=1−ρ ,

(49)

где Fc (ρ;q,n − m) – (1−ρ) -квантиль распределения Фишера с (q,n − m) степенями свободы.

В случае, если F > Fc (ρ;q,n − m) нулевая гипотеза отвергается; если F ≤ Fc (ρ;q,n − m), нет оснований отвергать нулевую гипотезу (и она принимается).

Доверительная область для коэффициентов регрессии Рассмотрим случай, когда H = Im .

Тогда равенство (44) примет вид: β = r

Заменив H на Im и r на β в формуле (48), получим:

F =	(b −β)T (X T Ω−1 X )(b −β)	(50)
	s2m

Отметим, что в силу формулы (39) формулу (50) можно также записать в виде:

		T			−1
F =	(b	−β)	Var (b		\| X )	(b −β)	(50’)
F =				m			(50’)
				m
В силу (49), (50)				(1−ρ) -доверительная область для вектора β задается условием:
(b −β)T (X T Ω−1 X )(b −β)≤ s2mFc (ρ;m,n − m)							(51)

и является эллипсоидом в m-мерном пространстве. С учетом (50’) условие (51) можно записать виде:

	T	−1		(51’)
(b	−β) Var (b	\| X )	(b −β)≤ mFc (ρ;m,n − m)	(51’)

Прогнозирование

Пусть Xn+1 = (xn+1,1, , xn+1,m ) – известные значения, Yn+1 – неизвестно.

Будем считать, что основные гипотезы имеют место также для «наблюдения» n +1:

1)	Yn+1 = Xn+1β+ εn+1	(52)
2)	E (εn+1 \| X , Xn+1 )= 0	(53)
3)	var(ε+ \| X , Xn+1 )= σ2Ω+ ,	(54)

где ε+ = (ε,εn+1 )T = (ε1, ,εn ,εn+1 )T , Ω+			– симметричная положительно определенная матрица
размера (n +1) ×(n +1) , такая, что Ω – ее подматрица,
4) ε+ \| X , Xn+1 N (0,σ2Ω+ )			(55)
При заданном Xn+1		= (xn+1,1, , xn+1,m ) будем строить прогноз, линейный относительно Y :
Yˆ	= CTY	(56)
n+1

где C = (c1, ,cn )T .

Условие несмещенности прогноза имеет вид:

ˆ	\| X , Xn+1 )= E (Yn+1	\| X , Xn+1 )	(57)
E (Yn+1
Из (1), (2), (56):

E (Yˆn+1 | X , Xn+1 )= E (CTY | X , Xn+1 )= CT E (Y | X , Xn+1 )= CT Xβ

Итак,

ˆ	X , Xn+1 )= C		T	Xβ	(58)
E (Yn+1 \|	X , Xn+1 )= C			Xβ	(58)
Из (52), (53):
E (Yn+1 \|	X , Xn+1 )= Xn+1β				(59)
Итак, условие несмещенности прогноза (56) имеет вид:
CT Xβ = X		β			(60)
		n+1

Поскольку равенство (60) должно выполняться при всех β, из него следует, что:

CT X = Xn+1

(61)

Условие эффективности прогноза заключается в том, что вектор C = (c1, ,cn )T обеспечивает

минимум выражения:
ˆ		2
E (Y	−Yn+1 )	2	\| X , Xn+1	(62)
E (Y	−Yn+1 )		\| X , Xn+1	(62)

В силу (60):

−Yn+1 = C

(Xβ+ ε)−(Xn+1β+ εn+1 )= C

Xβ+C

ε −

Xn+1β−εn+1 = C

ε −εn+1

(63)

Yn+1

Следовательно,

ε −εn+1 )

= C

εεn+1

(64)

(Yn+1 −Yn+1 )

εε

C + εn+1 − 2C

Подставим (64) в (62) и воспользуемся формулой (3):

| X ,

= C

+ E

E[εεn+1 | X , Xn+1 ]=

E (Yn+1 −Yn+1 )

Xn+1

εε

| X , Xn+1 C

εn

+1 | X , Xn+1 − 2C

= σ2CT ΩC + var(εn+1 | X , Xn+1 )− 2CT cov(ε,εn+1 | X , Xn+1 )

Итак,

2 T

E (Yn+1 −Yn+1 )

| X ,

Xn+1

= σ C ΩC + var

(εn+1 | X , Xn+1 )− 2C cov(ε,εn+1 | X , Xn+1 )

(65)

Заметим, что

var(εn+1 | X , Xn+1 ) равен произведению σ2 на элемент ωn+1,n+1

матрицы Ω+ , а

вектор-столбец

cov(ε,εn+1 | X , Xn+1 )

равен

произведению

σ2

на

столбец

ω1:n,n+1 = (ω1,n+1, ,ωn,n+1 )T

соответствующих элементов матрицы Ω+ .

Следовательно, равенство (65) можно также записать в виде:

E (Yn+1 −Yn+1 )

| X , Xn+1

= σ (C ΩC + ωn+1,n+1 − 2C ω1:n,n+1 )

(66)

Таким

образом,

вектор

C = (c1, ,cm )

обеспечивающий несмещенный

и эффективный

прогноз в классе прогнозов, линейных относительно Y , является решением следующей

оптимизационной задачи:

CT ΩC

− 2CT ω

→ min

(67)

1:n,n

CT X = Xn+1

(68)

Построим функцию Лагранжа для задачи (67)-(68):

L(C,Λ)= CT ΩC − 2CT ω1:n,n+1 −(CT X − Xn+1 )Λ

(69)

где Λ = (λ1, ,λm )T

– вектор множителей Лагранжа.

Продифференцируем функцию Лагранжа по C .

∂L

(C,Λ)= 2ΩC − 2ω1:n,n+1 − X Λ

(70)

∂C

Приравняв полученное выражение к нулю, получим условие Куна-Таккера:

2ΩC − 2ω1:n,n+1

− X Λ = 0

(71)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 17-11-2015_11-58-24

#
20.02.201660.42 Кб18Вопросы к экзамену.doc
#
20.02.20161.91 Mб26Задания.rtf
#
20.02.2016534.62 Кб31Методические указания.pdf
#
20.02.20163.81 Mб23Под.ред.Елисеевой.2003.Эконометрика.djvu
#
20.02.201649.66 Кб20Учебная программа.doc
#
20.02.20161.05 Mб57Эконометрика (электронный конспект).pdf