- •Случайные величины
- •7. Дискретная случайная величина
- •Числовые характеристики случайной величины Математическое ожидание м(х) дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии случайной величины
- •Биномиальный закон распределения
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности
- •Для непрерывной случайной величины
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8.30. Случайная величина х задана плотностью распределения
- •Равномерный закон распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Нормальный закон распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9. Закон больших чисел
- •Задачи для самостоятельного решения
- •10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов Функция одного случайного аргумента
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Функция двух случайных аргументов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложения Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Литература
Задачи для самостоятельного решения
8.15. Случайная величина Х имеет плотность
Найти математическое ожидание и дисперсию Х.
Ответ: М(Х) = 0,5909; D(Х) = 0,0781.
8.16. Случайная величина Х имеет плотность
Найти математическое ожидание и дисперсию Х.
Ответ: .
8.17. Случайная величина Х задана плотностью распределения
Найти математическое ожидание функции (не находя предварительно плотности распределения ).
Ответ: .
8.18. Плотность случайной величины Х имеет вид
Найти коэффициент а. Вычислить моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков случайной величины Х.
Ответ: ,
8.19. Случайная величина Х задана плотностью распределения
Найти начальные моменты случайной величины Х.
Ответ: не существуют при k 6.
8.20. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
Ответ:
8.21. Случайная величина Х имеет функцию распределения
Найти математическое ожидание случайной величины .
Ответ:
8.22. По данным задачи 8.9 (при ) найти моду и медиану распределения; вероятность того, что случайная величина Х окажется в промежутке математическое ожидание и дисперсию Х.
Ответ: .
8.23. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид
(распределение Лапласа).
Ответ:
8.24. Случайная величина Х подчинена закону Симпсона («закону равнобедренного треугольника») на участке от –а до +а (рис. 8.10). Написать выражение плотности распределения; построить график функции распределения; найти числовые характеристики случайной величины Х: , , , . Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал .
Рис. 8.10
Ответ:
.
8.25. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью, которая задана формулой
Найти коэффициент асимметрии распределения.
Ответ:
8.26. Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины, распределнной по закону Лапласа с плотностью
Ответ: ;
8.27. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале , задана функцией распределения. Найти моду и медиану случайной величиныХ.
Ответ: ;
8.28. Найти значения для случайной величиныХ, функция распределения которой
Ответ:
8.29. Кривая распределения случайной величины Х представляет собой полуэллипс с полуосями а и b. Полуось а известна. Определить b. Найти и функцию распределения.
Ответ:
8.30. Случайная величина х задана плотностью распределения
Найти коэффициент асимметрии и эксцесс.
Ответ: ;
Равномерный закон распределения
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на отрезке , если ее плотность вероятности р(х) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть
Математическое ожидание дисперсия а среднее квадратическое отклонение .
Пример 8.14. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 3 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше минуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х — времени ожидания поезда.
Решение. Случайная величина Х — время ожидания поезда на временном (в минутах) отрезке имеет равномерный закон распределения . Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более минуты, равна от равной единице площади прямоугольника (рис. 8.11), т.е.
мин,
мин.
Рис. 8.11
Пример 8.15. Найти математическое ожидание и дисперсию произведения двух независимых случайных величин ξ и η с равномерными законами распределения: ξ в интервале , η — в интервале .
Решение. Так как математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, то . Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой
найдем по формуле
.
Аналогично рассчитаем
.
Следовательно,
.
Пример 8.16. Вычислить математическое ожидание и дисперсию определителя
,
элементы которого — независимые случайные величины с и
Решение. Вычислим математическое ожидание
Для нахождения дисперсии докажем, что если ξ и η — независимые случайные величины, то
Действительно,
Следовательно,
Замечание. Для определителя n-го порядка ;
Пример 8.17. Автоматический светофор работает в двух режимах: 1 мин. горит зеленый свет и 0,5 мин — красный и т.д. Водитель подъезжает к перекрестку в случайный момент времени. 1. Найти вероятность того, что он проедет перекресток без остановки. 2. Составить закон распределения и вычислить числовые характеристики времени ожидания у перекрестка.
Решение. 1. Момент проезда автомобиля t через перекресток распределен равномерно в интервале, равном периоду смены цветов светофора. Этот период равен 1 + 0,5 = 1,5 мин. Для того чтобы машина проехала через перекресток не останавливаясь, достаточно того, чтобы момент проезда пришелся на интервал времени . Тогда
.
2. Время ожидания является смешанной случайной величиной: с вероятностью она равна нулю, а с вероятностью принимает с равномерной плотностью вероятностей любые значения между 0 и 0,5 мин; тогда график функции распределения случайной величины имеет вид, изображенный на рис. 8.12:
Рис. 8.12
То есть при ; при ; при .
Среднее время ожидания у перекрестка
мин.
Дисперсия времени ожидания
мин2;
мин.