- •Случайные величины
- •7. Дискретная случайная величина
- •Числовые характеристики случайной величины Математическое ожидание м(х) дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии случайной величины
- •Биномиальный закон распределения
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности
- •Для непрерывной случайной величины
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8.30. Случайная величина х задана плотностью распределения
- •Равномерный закон распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Нормальный закон распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9. Закон больших чисел
- •Задачи для самостоятельного решения
- •10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов Функция одного случайного аргумента
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Функция двух случайных аргументов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложения Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Литература
Задачи для самостоятельного решения
8.1.Дана функция
Показать, что данная функция является функцией распределения некоторой случайной величины Х. Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значения из интервала .
Ответ: .
8.2.Дана функция
Является ли она функцией распределения некоторой случайной величины?
Ответ:нет.
8.3.Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция
?
Ответ:нет.
8.4.Является ли функцией распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций:
а)
б)
Ответ:а) да; б) нет.
8.5.Дана функция распределения случайной величиныХ:
Найти плотность вероятности, а также вероятности .
Ответ:
.
8.6.Случайная величинаХ, сосредоточенная на интервале , задана функцией распределения . Найти вероятность попадания случайной величиныХв интервал . Построить график функцииF(х).
Ответ: .
8.7.Случайная величинаХ, сосредоточенная на интервале , задана функцией распределения . Найти вероятность того, что случайная величинаХпримет значения: а) меньше 4; б) меньше 6; в) не меньше 3; г) не меньше 6.
Ответ:.
8.8.Случайная величинаХ, сосредоточенная на интервале , задана квадратичной функцией , имеющей максимум прих= 4. Найти параметрыа,b,си вычислить вероятность попадания случайной величиныХ в интервал .
Ответ: .
8.9.Функция распределения случайной величиныХимеет вид
Определить постоянные аиb. Найти плотность вероятности случайной величиныХи построить ее график.
Ответ:
8.10.Плотность распределения вероятностей случайной величиныХопределяется функцией
.
Найти значение коэффициента а. Найти функцию распределенияF(х) величиныХ.
Ответ: .
8.11.Функцияр(х) задана в виде
Найти значение постоянной а, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величиныХ; функцию распределенияF(х); вычислить вероятность того, что случайная величинаХпримет значение на отрезке .
Ответ: .
8.12. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
Найти функцию распределения F(х).
Ответ:
8.13.Плотность распределения непрерывной случайной величиныХв интервале равна ; вне этого интервалар(х) =0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытанияхХпримет два раза значение, заключенное в интервале .
Ответ: .
8.14. Функция распределения случайной величиныХимеет видОпределить постоянныеа,bи найти плотность распределения вероятностейр(х).
Ответ:
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическое ожиданиенепрерывной случайной величиныХ, возможные значения которой принадлежат всей осиОх, определяется равенством
где р(х) — плотность распределения случайной величиныХ. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу, то
Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох определяется равенством
если интеграл сходится, или равносильным равенством
В частности, если все возможные значения Хпринадлежат интервалу , то
или
Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных величин.
Среднее квадратическое отклонениенепрерывной случайной величины определяется равенством
.
Модой непрерывной случайной величиныХназывается ее наиболее вероятное значение (для которого плотность вероятностир(х) достигает максимума).
Медианой непрерывной случайной величиныХназывается такое ее значение, для которого
.
Вертикальная прямая , проходящая через точку с абсциссой, равной , геометрически делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 8.7).
Рис. 8.7
Очевидно, что .
Начальный теоретический момент порядка kнепрерывной случайной величиныХопределяется равенством
.
Центральный теоретический момент порядкаkнепрерывной случайной величиныХопределяется равенством
.
Если все возможные значения Хпринадлежат интервалу , то
, .
Очевидно, что ; ; ; ; . Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам:
,
,
.
Математическое ожидание М(Х), или первый начальный момент, характеризует среднее значение распределения случайной величиныХ; второй центральный момент, или дисперсия , — степень рассеяния распределенияХотносительноМ(Х).
Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения.
Величина называетсякоэффициентом асимметриислучайной величины.
А = 0, если распределение симметрично относительно математического ожидания.
Четвертый центральный момент характеризует крутость распределения.
Эксцессомслучайной величины называется число
.
Кривые более островершинные, чем кривая для нормального распределения, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные — отрицательным эксцессом.
Пример 8.7.Дана функция
При каком значении параметра сэта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величиныХ? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величиныХ.
Решение.Для того чтобыр(х) была плотностью вероятности некоторой случайной величиныХ, она должна быть неотрицательна, т.е. , откуда и она должна удовлетворять свойству 4 плотности вероятности.
Следовательно,
откуда
.
Найдем интеграл , применив метод интегрирования по частям
Таким образом,
и плотность распределения имеет вид
Следовательно,
Дисперсия
Вначале найдем
Теперь
Пример 8.8.Случайная величинаХраспределена по «закону прямоугольного треугольника» в интервале (рис. 8.8).
Рис. 8.8
1. Написать выражение плотности распределения.
2. Найти функцию распределения F(х).
3. Найти вероятность попадания случайной величины Х на участок от доа.
4. Найти характеристики величины Х:М(Х),D(Х), , .
Решение.Так как площадь прямоугольного треугольника есть площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, то она равна единице: и, следовательно, . Уравнение прямой АВ в отрезках имеет вид , откуда , то есть функция плотности распределения имеет вид
Найдем функцию распределения F(х):
если , то
если , то
если , то
Таким образом,
Вероятность попадания случайной величины Хна участок от доаопределяется по формуле
.
Найдем математическое ожидание:
Следовательно,
,
.
Так как , а , ,
,
то .
Пример 8.9. По данным задачи 8.5 найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х), моду М0(Х) и медиану Ме(Х).
Решение. Так как
то .
Дисперсия
Вначале найдем
.
Следовательно,
График плотности вероятности р(х) имеет вид (рис. 8.9)
Рис. 8.9
Плотность вероятности р(х) максимальна при х = 2, это означает, что М0(Х) = 2.
Из условия найдем медиану Ме(Х): ; откуда
Пример 8.10. Дана функция
Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины Х.
Решение. Плотность распределения случайной величины Х равна
Так как асимметрия , эксцесс , то найдем начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков:
Тогда
Так как то Следовательно,
Пример 8.11. Плотность случайной величины Х задана следующим образом:
Найти моду, медиану и математическое ожидание Х.
Решение. Найдем математическое ожидание Х:
.
Так как плотность распределения достигает максимума при х = 1, то М0(Х) =1.МедиануМе(Х) найдем из условия. Для этого вначале найдем функцию распределения:
если , то
если , то
если , то
Таким образом,
Уравнение равносильно уравнению , откуда .
Пример 8.12. Случайная величина Х задана плотностью распределения
Найти математическое ожидание функции (не находя предварительно плотности распределения ).
Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математического ожидания функции от случайного аргумента Х
где а и b — концы интервала, в котором заключены возможные значения Х, получим
Пример 8.13. Случайная величина Х задана плотностью распределения
Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.
Решение. Так как , то отсюда видно, что при х = 4 плотность распределения достигает максимума и, следовательно, М0(Х) = 4 (можно было найти максимум методами дифференциального исчисления).
Кривая распределения симметрична относительно прямой х = 4, поэтому М(Х) = Ме(Х) = 4.