- •Случайные величины
- •7. Дискретная случайная величина
- •Числовые характеристики случайной величины Математическое ожидание м(х) дискретной случайной величины
- •Свойства математического ожидания
- •Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии случайной величины
- •Биномиальный закон распределения
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности
- •Для непрерывной случайной величины
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8.30. Случайная величина х задана плотностью распределения
- •Равномерный закон распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Показательный (экспоненциальный) закон распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Нормальный закон распределения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9. Закон больших чисел
- •Задачи для самостоятельного решения
- •10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов Функция одного случайного аргумента
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Функция двух случайных аргументов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложения Приложение 1
- •Приложение 2
- •Приложение 3
- •Литература
10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов Функция одного случайного аргумента
Если каждому возможному значению случайной величины Хсоответствует одно возможное значение случайной величиныY, тоYназывается функцией случайного аргументаХи записывается.
Если Х— дискретная случайная величина и функциямонотонна, то различным значениямХсоответствуют различные значенияY, причем вероятности соответствующих значенийХиYодинаковы:
и.
Если же немотонная функция, то различным значениямХмогут соответствовать одинаковые значенияY. В этом случае для отыскания вероятностей возможных значенийYследует сложить вероятности тех возможных значенийХ, при которыхYпринимает одинаковые значения.
Пример 10.1.Дискретная случайная величинаХзадана законом распределения
Х |
2 |
3 |
5 |
7 |
Р |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
Найти закон распределения случайной величины Y, равной 2Х.
Решение.Находим возможные значенияY:
;;;.
Так как функция монотонна, то вероятности, т.е.
;;
;.
Запишем искомый закон распределения Y
Y |
4 |
6 |
10 |
14 |
Р |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
Пример 10.2.Дискретная случайная величинаХзадана законом распределения
Х |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
Р |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,1 |
Найти закон распределения случайной величины .
Решение.Находим возможные значения случайной величины:
;;;;;. Значенияивстречаются только по одному разу, а значениясовпадают, поэтому вероятность того, что, будет равна сумме вероятностей 0,2 + 0,1 = 0,3. Аналогично,, поэтому.
Напишем искомый закон распределения Y, расположив значенияYв порядке возрастания
Y |
0 |
1 |
4 |
9 |
Р |
0,1 |
0,5 |
0,3 |
0,1 |
Если Х— непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения, и если— дифференцируемая строго монотонная функция, обратная функция которой, то плотность распределенияслучайной величиныYнаходят из равенства
.
Если функция в интервале возможных значенийХне монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функциямонотонна, и найти плотности распределениядля каждого интервала монотонности, а затем представитьв виде суммы
.
Пример 10.3.Задана плотность распределенияслучайной величиныХ, возможные значения которой заключены в интервале. Найти плотность распределения случайной величины.
Решение.Так как функциядифференцируемая и строго возрастает, то применима формула, где— функция, обратная функции.
Находим :. Тогда,. Искомая плотность распределения. Так какхизменяется в интервалеиу= 3х, то.
Ответ:,.
Пример 10.4.Случайная величинаХраспределена по закону Коши
.
Найти плотность распределения случайной величины .
Решение.Функциямонотонно возрастающая при всех. Находим обратную функцию:. Тогда
,,.
Следовательно,
Ответ:.
Пример 10.5.Задана плотностьнормально распределенной случайной величиныХ. Найти плотность распределенияслучайной величины.
Решение.Так как в интервалефункцияне монотонна, то разобъем этот интервал на интервалыи, в которых она монотонна. В интервалеобратная функция, в интервале,,,.
Искомую плотность распределения находим из равенства
,
.
Так как , причем, то. Таким образом, в интервалеискомая плотность распределения, вне этого интервала.
Ответ:при,при.