Задачи для самостоятельного решения

8.1.Дана функция

Показать, что данная функция является функцией распределения некоторой случайной величины Х. Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значения из интервала .

Ответ: .

8.2.Дана функция

Является ли она функцией распределения некоторой случайной величины?

Ответ:нет.

8.3.Является ли функцией распределения некоторой случайной величины функция

?

Ответ:нет.

8.4.Является ли функцией распределения некоторой случайной величины каждая из следующих функций:

а)

б)

Ответ:а) да; б) нет.

8.5.Дана функция распределения случайной величиныХ:

Найти плотность вероятности, а также вероятности .

Ответ:

.

8.6.Случайная величинаХ, сосредоточенная на интервале , задана функцией распределения . Найти вероятность попадания случайной величиныХв интервал . Построить график функцииF(х).

Ответ: .

8.7.Случайная величинаХ, сосредоточенная на интервале , задана функцией распределения . Найти вероятность того, что случайная величинаХпримет значения: а) меньше 4; б) меньше 6; в) не меньше 3; г) не меньше 6.

Ответ:.

8.8.Случайная величинаХ, сосредоточенная на интервале , задана квадратичной функцией , имеющей максимум прих= 4. Найти параметрыа,b,си вычислить вероятность попадания случайной величиныХ в интервал .

Ответ: .

8.9.Функция распределения случайной величиныХимеет вид

Определить постоянные аиb. Найти плотность вероятности случайной величиныХи построить ее график.

Ответ:

8.10.Плотность распределения вероятностей случайной величиныХопределяется функцией

.

Найти значение коэффициента а. Найти функцию распределенияF(х) величиныХ.

Ответ: .

8.11.Функцияр(х) задана в виде

Найти значение постоянной а, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величиныХ; функцию распределенияF(х); вычислить вероятность того, что случайная величинаХпримет значение на отрезке .

Ответ: .

8.12. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти функцию распределения F(х).

Ответ:

8.13.Плотность распределения непрерывной случайной величиныХв интервале равна ; вне этого интервалар(х) =0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытанияхХпримет два раза значение, заключенное в интервале .

Ответ: .

8.14. Функция распределения случайной величиныХимеет видОпределить постоянныеа,bи найти плотность распределения вероятностейр(х).

Ответ:

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическое ожиданиенепрерывной случайной величиныХ, возможные значения которой принадлежат всей осиОх, определяется равенством

где р(х) — плотность распределения случайной величиныХ. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу, то

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох определяется равенством

если интеграл сходится, или равносильным равенством

В частности, если все возможные значения Хпринадлежат интервалу , то

или

Все свойства математического ожидания и дисперсии для дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных величин.

Среднее квадратическое отклонениенепрерывной случайной величины определяется равенством

.

Модой непрерывной случайной величиныХназывается ее наиболее вероятное значение (для которого плотность вероятностир(х) достигает максимума).

Медианой непрерывной случайной величиныХназывается такое ее значение, для которого

.

Вертикальная прямая , проходящая через точку с абсциссой, равной , геометрически делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 8.7).

Рис. 8.7

Очевидно, что .

Начальный теоретический момент порядка kнепрерывной случайной величиныХопределяется равенством

.

Центральный теоретический момент порядкаkнепрерывной случайной величиныХопределяется равенством

.

Если все возможные значения Хпринадлежат интервалу , то

, .

Очевидно, что ; ; ; ; . Центральные моменты выражаются через начальные моменты по формулам:

,

,

.

Математическое ожидание М(Х), или первый начальный момент, характеризует среднее значение распределения случайной величиныХ; второй центральный момент, или дисперсия , — степень рассеяния распределенияХотносительноМ(Х).

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии распределения.

Величина называетсякоэффициентом асимметриислучайной величины.

А = 0, если распределение симметрично относительно математического ожидания.

Четвертый центральный момент характеризует крутость распределения.

Эксцессомслучайной величины называется число

.

Кривые более островершинные, чем кривая для нормального распределения, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные — отрицательным эксцессом.

Пример 8.7.Дана функция

При каком значении параметра сэта функция является плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величиныХ? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величиныХ.

Решение.Для того чтобыр(х) была плотностью вероятности некоторой случайной величиныХ, она должна быть неотрицательна, т.е. , откуда и она должна удовлетворять свойству 4 плотности вероятности.

Следовательно,

откуда

.

Найдем интеграл , применив метод интегрирования по частям

Таким образом,

и плотность распределения имеет вид

Следовательно,

Дисперсия

Вначале найдем

Теперь

Пример 8.8.Случайная величинаХраспределена по «закону прямоугольного треугольника» в интервале (рис. 8.8).

Рис. 8.8

1. Написать выражение плотности распределения.

2. Найти функцию распределения F(х).

3. Найти вероятность попадания случайной величины Х на участок от доа.

4. Найти характеристики величины Х:М(Х),D(Х), , .

Решение.Так как площадь прямоугольного треугольника есть площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, то она равна единице: и, следовательно, . Уравнение прямой АВ в отрезках имеет вид , откуда , то есть функция плотности распределения имеет вид

Найдем функцию распределения F(х):

если , то

если , то

если , то

Таким образом,

Вероятность попадания случайной величины Хна участок от доаопределяется по формуле

.

Найдем математическое ожидание:

Следовательно,

,

.

Так как , а , ,

,

то .

Пример 8.9. По данным задачи 8.5 найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х), моду М₀(Х) и медиану М_е(Х).

Решение. Так как

то .

Дисперсия

Вначале найдем

.

Следовательно,

График плотности вероятности р(х) имеет вид (рис. 8.9)

Рис. 8.9

Плотность вероятности р(х) максимальна при х = 2, это означает, что М₀(Х) = 2.

Из условия найдем медиану М_е(Х): ; откуда

Пример 8.10. Дана функция

Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины Х.

Решение. Плотность распределения случайной величины Х равна

Так как асимметрия , эксцесс , то найдем начальные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков:

Тогда

Так как то Следовательно,

Пример 8.11. Плотность случайной величины Х задана следующим образом:

Найти моду, медиану и математическое ожидание Х.

Решение. Найдем математическое ожидание Х:

.

Так как плотность распределения достигает максимума при х = 1, то М₀(Х) =1.МедиануМ_е(Х) найдем из условия. Для этого вначале найдем функцию распределения:

если , то

если , то

если , то

Таким образом,

Уравнение равносильно уравнению , откуда .

Пример 8.12. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти математическое ожидание функции (не находя предварительно плотности распределения ).

Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математического ожидания функции от случайного аргумента Х

где а и b — концы интервала, в котором заключены возможные значения Х, получим

Пример 8.13. Случайная величина Х задана плотностью распределения

Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.

Решение. Так как , то отсюда видно, что при х = 4 плотность распределения достигает максимума и, следовательно, М₀(Х) = 4 (можно было найти максимум методами дифференциального исчисления).

Кривая распределения симметрична относительно прямой х = 4, поэтому М(Х) = М_е(Х) = 4.