Задачи для самостоятельного решения

8.44.Случайная величинаХраспределена по показательному закону

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения этой случайной величины. Найти вероятность попадания значений случайной величины Хв интервал .

Ответ: ;

.

8.45. Среднее время безотказной работы прибора равно 85 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) выражение его плотности вероятности и функции распределения; б) вероятность того, что в течение 100 ч прибор не выйдет из строя.

Ответ: а) ;

;

б) .

8.46. Найти эксцесс показательного распределения.

Ответ: .

8.47.Производится испытание трех элементов, работающих независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента ; для второго — для третьего элемента Найти вероятности того, что в интервале времени часов откажут: а) только один элемент; б) только два элемента; в) хотя бы один элемент; г) все три элемента; д) не менее двух элементов.

Ответ:а) 0,069; б) 0,4172; в) 0,9975; г) 0,511; д) 0,928.

8.48.Р %-м ресурсом элемента называется такое числоt, что за времяtэлемент не выходит из строя с вероятностьюР. Считается, что времяtнепрерывной работы электрической лампочки распределено по показательному закону. Найти вероятность того, что лампочка будет гореть в течение 2 лет, если ее 90 %-й ресурс составляет 6 мес.

Ответ: .

8.49.Срок службы жесткого диска компьютера – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению со средней в 12 000 часов. Найти долю жестких дисков, срок службы которых превысит 20 000 часов.

Ответ: .

8.50.Срок службы батареек для слуховых аппаратов приблизительно подчиняется экспоненциальному закону с. Какова доля батареек со сроком службы больше чем 9 дней?

Ответ: .

8.51.Служащий рекламного агентства утверждает, что время, в течение которого телезрители помнят содержание коммерческого рекламного ролика, подчиняется экспоненциальному закону сдня. Найти долю зрителей, способных вспомнить рекламу спустя 7 дней.

Ответ: .

8.52.Компьютерный программист использует экспоненциальное распределение для оценки надежности своих программ. После того, как он нашел 10 ошибок, он убедился, что время (в днях) до нахождения следующей ошибки подчиняется экспоненциальному распределению с. Найти среднее время, потраченное для нахождения первой ошибки; определить вероятность того, что для нахождения первой ошибки понадобится более 5 дней; найти вероятность того, что на нахождение одиннадцатой ошибки потребуется от 3 до 10 дней.

Ответ:М(Х) = 4; ; .

8.53.Случайная величинаХраспределена по показательному закону:р(х) = = 0 прих< 0,при. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения этой случайной величины. Найти вероятность попадания случайной величиныХв интервал (0,2; 1,1).

Ответ:М(Х) = 1/6;;;;

.

Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и , если ее плотность вероятности имеет вид

.

Кривую нормального закона распределения называют нормальнойилигауссовой кривой.

На рис. 8.14 приведены нормальная кривая р(х) с параметрамиаи , т.е. , и график функции распределения случайной величиныХ, имеющей нормальный закон

Рис. 8.14

Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а, имеет максимум в точкех = а, равный , и две точки перегиба с ординатой .

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону, , .

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию ЛапласаФ(х) по формуле

,

где .

Вероятность попадания значений нормальной случайной величины Хв интервал определяется формулой

.

Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, от математического ожиданияане превысит величину (по абсолютной величине), равна

.

«Правило трех сигм»: если случайная величина Химеет нормальный закон распределения с параметрамиаи т.е. , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале

.

Асимметрия нормального распределения А= 0; эксцесс нормального распределенияЕ= 0.

Пример 8.23.Определить закон распределения случайной величиныХ, если ее плотность распределения вероятностей задана функцией

.

Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х.

Решение.Сравнивая данную функциюр(х) с функцией плотности вероятности для случайной величины, распределенной по нормальному закону, заключаем, что случайная величинаХраспределена по нормальному закону с параметрамиа= 1 и .

Тогда , , .

Функция распределения случайной величины Химеет вид

.

Пример 8.24.Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед.

Найти вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,3 ден. ед.; б) не ниже 15,4 ден. ед.; в) от 14,9 до 15,3 ден. ед. С помощью «правила трех сигм» найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

Решение.Так кака= 15 и , то

По «правилу трех сигм» и, следовательно, . Окончательно .

Пример 8.25.Автомат изготавливает детали, которые считаются годными, если отклонениеХот контрольного размера по модулю не превышает 0,8 мм. Каково наиболее вероятное число годных деталей из 150, если случайная величинаХраспределена нормально с мм?

Решение.Найдем вероятность отклонения при и

Считая приближенно р= 0,95 и в соответствии с формулой

где — наивероятнейшее число, находим при

откуда

Пример 8.26.Размер диаметра втулок, изготовленных заводом, можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданиема= 2,5 см и средним квадратическим отклонением см. В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается 0,9973?

Решение.По «правилу трех сигм» . Отсюда , т.е. .

Пример 8.27.Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 175 см, а среднее квадратическое отклонение — 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см.

Решение.Найдем вероятность того, что рост мужчины будет принадлежать интервалу :

Тогда вероятность того, что рост мужчины не будет принадлежать интервалу (170; 180) q= 1 — 0,6 = 0,4.

Вероятность того, что хотя бы один из 5 мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см равна

.

Пример 8.28.Браковка шариков для подшипников производится следу­ющим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром , но проходит через отверстие диаметром , то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика есть случайная величина с характеристиками и . Определить вероятность того, что шарик будет забракован.

Решение.

Так как , то