6.Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функций. Геометрический смысл дифференцируемости функции одной переменной.

Теорема: если функция y=f(x) дифференцируема на некотором интервале, то она и непрерывна на этом интервале. Но обратное утверждение НЕВЕРНО.

Геометрический смысл дифференцируемости функции в точке x0 состоит в существовании касательной к графику функции в точке с абсциссой x0.

7.Производные высших порядков функции одной переменной.

Производная от первой производной функции y=f(x) называется второй производной или производной второго порядка. Производная от второй производной называется производной третьего порядка. И так далее. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков. Для их обозначения используют символы . Производная порядкаn определяется, как первая производная от производной порядка (n-1): .

8.Дифференциал функции одной переменной и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциалом y=f(x) в точке X называется главная часть приращения функции в этой точке, линейной относительно ∆x, т.е. величина dy=f ‘ x ∆x.

Из треугольника MNP:

NP=MP*tg α =f ‘ (x)∆x=dx. Точка О дифференциал в точке X равна приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке (x, f(x)) при заданном приращении аргумента dx. Геометрический смысл состоит в том, что на отрезке [x, x+∆x] функция f(x) заменяется линейной функцией , график которой касательная в точке (x, f(x)). Приближенное исчисление с помощью дифференциала: из формулы f(x+∆x)-f(x)=f ‘ (x)∆x-0(∆x) ∆x→0 следует, что при малых приращениях ∆y≈dy; f(x+∆x)-f(x)≈f ‘ (x)dx.

9. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей:

Пусть f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности x→ x0, кроме самой этой точки, при g’(x)=0, при x≠ x0.Если обе функции – g и f являются одновременно бесконечно большими и бесконечно малыми при x→ x0, то частное -неопределенного вида.

Правило Лопиталя:

Lim f(x)=lim g(x)=0(),то

Правило остается в силе, когда x0=

10.Исследование функции с помощью производной. Возрастание и убывание. Локальный экстремум. Необходимое условие экстремума.

Исследование функции с помощью производной включает в себя: исследование функции на возрастание и убывание, вычисление экстремумов, исследование функции на выпуклость и нахождение точек перегиба, построение графиков функции и кривых, заданных параметрически, вычисление интеграла.

Возрастание и убывание функции

Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a,b) функция f(x) не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы f ‘ (x)0 (f ‘ (x)0) всюду на этом интервале (a,b).

Если функция y=f(x), xX имеют локальный экстремум в точке x0X, то ее производная f ‘ (x) в этой точке либо равна 0, f ‘ (x)=0 либо не существует.

Необходимое условие экстремума: Если точка x0 - точка локального экстремума функции f(x), и существует производная в этой точке f ’ (x0), то f ‘ (x0)=0.

11. Достаточные условия локального экстремума функции одной переменной:

Пусть функция f(x), xX дифференцируема в некоторой окрестности точки x0X

─Если при переходе аргумента через точку x0 слева направо, производная f ‘ (x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке x0 функция f(x) имеет локальный максимум (минимум).

─Если производная f ‘ (x) не меняет знак в достаточно малой окрестности точки x0, то функция f(x) не имеет локального экстремума в точке x0

Пусть для функции y=f(x), xX , дважды дифференцируемой в точке x0X, первая производная равна 0 f ‘ (x0)=0, а вторая производная отлична от 0 f “ (x0)≠0.

Тогда в точке x0 функция достигает локального экстремума, причем:

─ Если f “ (x0)>0, то это локальный минимум.

─ Если f “ (x0)<0, то это локальный максимум.