1.Непрерывность функции одной переменной в точке и на множестве. Односторонняя непрерывность.

Предположим, что X и Y – некоторые заданные множества, и пусть каждому элементу xX по определенному правилу f поставлен в соответствие вполне определенный элемент yY. Тогда говорят, что задана функциональная зависимость y=f(x). Функцию f(x) называют непрерывной в точке x0, если: 1) она определена в точке x0 и некоторой ее окрестности; 2)существует конечный предел функции f(x) при x→ x0; 3)этот предел равен значению функции в точке x0,т.е

lim f(x)=f(x0).

x→ x0

Функция f(x), xX называется непрерывной на множестве X, если она если она непрерывна в каждой точке X.

Функция f(x) называется непрерывной справа(слева) в точке x0, если правый (левый) предел этой функции в точке x0 равен значению этой функции в этой точки.

2.Классификация точек разрыва функции одной переменной.

Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не является

непрерывной в точке x0. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если предел функции в этой точке существует, но в точке x0 функция f(x) либо не определена либо ее значение f(x0) не равно пределу в этой точке. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Lim f(x) ≠ lim f(x)

x→ x0- x→ x0+

Точка x0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) либо не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов, либо хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

3.Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Теорема Вейерштрасса: y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений, т.е. точки X1 и X2[a,b], такие, что f(X1)=max f(x)=M x[a,b]; f(X2)=min f(x)=m x[a,b]. Следствие: любая непрерывная на отрезке функция ограничена на этом отрезке. Теорема Больцмана-Коши: если y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимают на его отрезках неравные значения. f(a)=A≠B=F(b), то на этом отрезке она принимает все промежуточные значения между a и b, т.е. для любого числа

Сс [a,b] x0 ( a,b): f (x0)=C Следствие: если y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [a,b] найдется точка x0:f(x0)=0.

4.Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентные бесконечно малые.

Функция f(x) называется бесконечно малой в точке x0, если ее предел в этой точке равен нулю.

Пусть α= α(x), β=β(x) – бесконечно малые, при x→ x0

Lim α(x)=lim β(x)=0

x→ x0 x→ x0

а)Если существует конечный предел не равный 0, ,то α и β называются бесконечно малыми одного порядка. б)если,тоα(x) называют более высокого порядка, чем β(x). в)если не существует, то функцииα(x) и β(x) – не сравнимы.

г)если ,то α(x) и β(x) называют эквивалентно малыми. α(x)~β(x)

Теорема: если отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной бесконечно малой функцией. А сумма или разность-не верно!!!

5.Производная функции одной переменной в точке и ее геометрический смысл.

Если существует предел отношения приращения функции ∆y к вызвавшему его приращению аргумента ∆x, когда ∆x→0, т.е.

, то он называется производной функции y=f(x) в точке x0X. Геометрический смысл производной: Из треугольника MNA следует, что

Т.е.выражение под знаком предела в определении производной является угловым коэффициентом секущейMN. Если предположить, что существует производная f ‘ (x0), т.е.,то это значит, что секущаяMN при ∆x→0 стремится превратиться в пределе в прямую, проходящую через точку x0 с угловым коэффициентом f ‘ (x0). Уравнение этой прямой:

, которую назовем касательной к графику функции y=f(x) в точке M (x0;f(x0)).

Таким образом, производная является угловым коэффициентом касательной где- угол наклона касательной к осиOx. При этом уголнаклона касательной определяется из соотношения

если f ‘ (x0)≥0

f ‘ (x0)<0