12 Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке(глобальный экстремум).

Говорят,что ф-ция y=f(x), определенная на промежутке Х,достигает на нем своего наибольшего(наименьшего) значения ,если существует точка а, принадлежащая этому промежутку ,такая, что для всех х из Х выполняется неравенство f(x)≤ f(a) (f(x)≥f(a)).

Наибольшее значение М и наименьшее m непрерывной ф-ции могут достигаться как внутри отрезка,так и на его концах. Если наибольшего(наименьшего) значения ф-ция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума.

Алгорит отыскание наиб. и наим. значений непрерывной функции у=f(x)на отрезке [a,b]:

1.найти f ‘(x);

2.найти точки в которых f ‘(x)=0 или f ‘(x) не существует ,и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [a,b].

3.вычислить значения ф-ции у=f(x) в точках , полученных в п. 2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями ф-ции у=f(x) на отрезке [a,b], которые можно обозначить так: У наим и У наиб.

Глобальный экстремум –крайнее значение числовой ф-ции на всем множестве значений , принимаемых этой ф-цией, т.е. ее глобальный максимум или глобальный минимум. Точку х0  Х называют глобальной точкой максимума(минимума) ф-ции f(x), x X, если неравенство

f(x0) ≥ f(x) (f(x0) ≤ f(x)), выполняется для всех х Х .

13.Выпуклость графика ф-ции одной переменной . Точки перегиба. Исследование ф-ции на хар-р выпуклости и перегиб.

График ф-ции называется выпуклым на (а,b) если он лежит ниже любой касательной проведенной к графику в этой точке.

График ф-ции называется вогнутым на(а,b) если он лежит выше любой касательной, проведенной к графику на этом промежутке.

Теорема. Если ф-ция у=f(x) имеет на интервале (а,b) вторую производную f “ (x) и f “ (x) ≥ 0 на (а,b), то график ф-ции f(x) является выпуклым(вогнутым) на интервале (а,b).

Точки графика ,где выпуклость меняется на вогнутость и наоборот называются точками перегиба.

Теорема. Пусть график ф-ции у=f(x), x  (a,b) имеет перегиб в точке М(х0;f(x0)), x0  (a,b). Тогда в точке х0 либо вторая производная равна 0 f “ (x) = 0, либо она не существует.

Теорема. Пусть ф-ция f(x), x  (a,b) имеет вторую производную f ”(x) в некоторой окрестности точки х0  (а,b). Если при переходе через точку х0 вторая производная f “ (x) меняет знак, то график ф-ции у=f(x) имеет перегиб в точке М(х0;f(x0).

14.Асимптоты графика ф-ции одной переменной.

Прямая L называется асимптотой графика у=f(x),если расстояние между точками прямой и точками графика стремится к 0 при неограниченном удалении точек графика от начала координат.

Теорема. Для того, чтобы прямая х=х0 была вертикальной асимптотой графика y=f(x) необходимо и достаточно ,чтобы предел при х→х0 был равен бесконечности.(в т. Х0 ф-ция имеет разрыв 2-го рода).

Теорема. Для того, чтобы y= f(x) имела наклонную асимптоту y=kx+b необходимо и достаточно, чтобы , приx→,x→+x→ -и, приx→,x→+x→ -.

37.Интеграл с переменным верхним пределом и его производная.

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x)тогда для любого x[a,b] существует функция:, задаваемаяинтегралом с переменным верхним пределом . На него распространяются все свойства и правила определенного интеграла.

Теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом