3. Геометрические вероятности

Геометрическое определение вероятности может быть использовано в том случае, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой области (длине, площади, объему и т.д.) и не зависит от ее расположения и формы.

Если геометрическая мера всей области равна S, а геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию, есть , то вероятность события равна . Области могут иметь любое число измерений.

Пример 3.1.Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше?

Решение.

Пусть х и у — взятые числа (см. рис. 3.1). Их возможные значения ;, что на плоскости соответствует квадрату с площадью. Благоприятствующие значения удовлетворяют условиями. Границах + у = = 1 делит квадрат пополам, причем областьпредставляет собой нижний треугольник.Вторая граница является гиперболой. Абсциссы точек пересечения этих границ (точекВ и С) и. Величина благоприятствующей площадиОАВСD (на рис. 3.1 она заштрихована)

Ответ:

Пример 3.2. На отрезке АВ, длина которого l, наугад ставятся две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Найти вероятность того, что из трех получившихся частей можно составить треугольник.

Решение.Обозначим черезх,уиl – х – участи отрезкаАВ. Тогда;;. На плоскости этой области соответствует треугольник, ограниченный осями координат и прямой.

Рис. 3.2

Треугольник из полученных отрезков можно будет составить, если сумма длин двух из них превзойдет третью сторону, т.е.

и,.

Благоприятствующая площадь (см. рис. 3.2 заштрихованный треугольник) равна

..

Ответ: .

Пример 3.3.На бесконечную шахматную доску со стороной квадратаанаудачу бросается монета радиуса. Найти вероятности следующих событий:А= «монета попадет целиком внутрь одного квадрата»,В= «монета пересечет не более одной стороны квадрата».

Решение. Пусть (х, у) — координаты центра упавшей монеты (рис. 3.3). В силубесконечности шахматной доски можно считать, что элементарные исходы данного эксперимента полностью определяются положением центра упавшей монеты относительно вершин квадрата, содержащего этот центр. Помещая начало координат в одну из вершин указанного квадрата можно записать множество элементарных исходов в виде,. Множество, соответству­ющее событиюА:,, т.е. является квадратом со стороной.

Следовательно, ;;.

Множество, соответствующее событию В, изображено на рис. 3.3.

Рис. 3.3

;,.

Ответ:;.

Пример 3.4.Шарпомещен внутрь эллипсоида. Найти вероятность того, что поставленная наудачу внутри эллипсоида точка окажется внутри шара.

Решение. Искомая вероятность будет равна отношению объема шара к объему эллипсоида. Объем шара равен , т.е.. Объем эллипсоида, следовательно,..

Ответ:.

Пример 3.5.(Задача о встрече). Два человека в течение промежутка временислучайным образом приходят к месту встречи и ждут время. Какова вероятность, что они встретятся.

Решение.Пустьх— время прихода первого человека, ау— второго.Хиуудовлетворяют условиям:,. Поскольку они приходят случайным образом, то все исходы равновозможны иSбудет равна площади квадрата со сторонойТ:СобытиеА= {они встретятся} можно задать так. Это множество образуют те точки, которые лежат внутри квадрата,между прямымии. Поэтому. Искомая вероятность.

Ответ:.