2.5 Анализ оптимального решения

Модели оптимизации в реальных задачах могут содержать очень много переменных и параметров , что невозможно эффективно корректировать без специального исследования . Числовые характеристики модели меняются в зависимости от внешних условий и зачастую довольно быстро. В этой связи анализ устойчивости оптимального плана играет особую роль в организации управления экономическими объектами , принятии решений в критических ситуациях . Оказывается , что существует определенный интервал устойчивости , в котором изменение целевых коэффициентов не приводит к изменению оптимального решения . В границах этого интервала можно без риска для прибыли целенаправленно изменять значения параметров.

Отчет по устойчивости.

В процессе поиска оптимального решения MS Excel формирует по желанию пользователя отчеты по результатам , по устойчивости и по границам . Для вывода отчетов в окне Результаты поиска решения следует указать типы нужных отчетов: « Результаты » , « Устойчивость » и / или « Пределы ». В результате MS Excel создаст дополнительные листы « Отчет по результатам» , « Отчет по устойчивости » и « Отчет по предела » , анализируя которые , пользователь может подобрать такие параметры модели , наилучшим образом соответствуют эффективной организации производства ( рис. 13-14).

Рис.13

Рис.14

2.6 Двойственная задача

Для любой задачи линейного программирования можно сформулировать двойственную задачу , в которой используются те же параметры , что и в прямой задачи , но определяющаяся симметрично относительно переменных - ограничений.

Предположим , что нужно узнать , при каких ценах на ресурсы, используемые для производства бетонных изделий ( см. таблицу « Параметры задачи » Рис. 10 ) , будет выгоднее продать эти ресурсы , чем делать из них продукцию? Какую минимальную сумму можно получить в виде прибыли от продажи ресурсов?

Построим модель данной задачи . Обозначим через у₁, у₂, у₃ цены на единицу бетона , арматуры и стоимость труда за один рабочий день. Такие цены характеризуют степень ценности ресурса для производителя и называются теневыми ценами. Целевая функция - это с одной стороны прибыль , который может быть получен от продажи всех ресурсов по данным ценам. Он равен сумме произведений цен на значение запаса соответствующего ресурса. Но с точки зрения покупателя ресурсов значение целевой функции - это его расходы, желательно сделать меньше (купить дешевле). То есть значение целевой функции нужно минимизировать. Что касается ограничений задачи , то необходимо учесть , что производитель стремится продать ресурсы по таким ценам , чтобы прибыль была не менее того , который он получил бы при производстве продукции из этих ресурсов . Таким образом , например , ему надо продать 3,5 куб.м. бетона , 1 упаковка арматуры и 1 день труда в сумме не менее , чем прибыль от производства одного лестничного марша, то есть должно выполняться ограничения

3.5у₁+1у₂+1у₃ ≥ 200.

На Рис . 16 представлена ​​модель двойственной задачи .

Для нахождения решения в окне Поиск решения необходимо установить переключатель на минимальное значение , а в параметрах указать , что модель линейная и переменные имеют неотрицательные значения . Поиск решения дает следующий результат: теневая цена на бетон - 40 , на арматуру - 0 , на труд - 60. Значение затрат равна 23000 руб . и , заметим , оно в точности совпадает со значением прибыли в прямой задачи ( рис. 17).

В теории линейного программирования доказано , что независимо от прикладной интерпретации , оптимальные значения целевых функций прямой и двойственной задач совпадают. Известно также , что теневая цена ресурса указывает , насколько увеличится прибыль от производства. Нулевая теневая цена на арматуру означает , что ресурс избыточный.

Задания к лабораторной работе

1 . Для задачи , заданной таблицей на рис. 10 вычислить максимальные значения прибыли при увеличении и уменьшении прибыли от единицы каждого вида продукции в пределах диапазона устойчивости .

2 . Предприятие выпускает телевизоры , стереосистемы и акустические системы , используя общий склад комплектующих . Запасы шасси на складе составляют 450 шт . , Кинескопов - 250 , динамиков - 800 , блоков питания - 450 , плат - 600.

На каждое изделие расходуется количество комплектующих , указана в таблице . Прибыль от производства одного телевизора составляет 90 у.е. , одной стереосистемы - 50 и аудиосистемы - 45. Необходимо найти оптимальное соотношение объемов выпуска изделий , при котором прибыль от производства всей продукции будет максимальным , вычислить максимальные значения прибыли при увеличении и уменьшении прибыли от единицы каждого вида продукции в пределах диапазона устойчивости.

Изделие	Телевизор	Стерео	Акустическая система
Шасси
Кинескоп
Динамик
Блок питания
Плата

3. Сформулируйте и решите двойственную задачу к задаче из пункта 2.2.