Задача 6.40.

Оцінити доцільність страхування, коли особа (клієнт) бажає застрахувати певну частину свого активу і сплачує для цього певний внесок страховій компанії, а у разі втрати активу одержує від неї страхову винагороду. Визначити частку активу, яку доцільно застрахувати.

Розв’язування. Нехай S — актив (капітал, майно тощо), власником якого є певна особа. Частку, що її бажано застрахувати, позначимо х. Страховий внесок, який сплачується страховій компанії, дорівнює rx, а в разі втрати активу клієнт одержує винагороду qx. Коли відома ймовірність p недоторканості активу клієнта, то економіко-математична модель визначення частки страхового активу набирає вигляду:

,

.

Тут легко врахувати також обсяги дивідендів.

Така модель може бути корисною для страхових компаній у разі визначення доцільних розмірів страхових внесків та страхових винагород, які зацікавили б клієнтів і були вигідними самій компанії.

Задача 6.41.

У буряко-цукровому комплексі мають S коштів, які необхідно розподілити між розширенням сировинної бази і збільшенням потужностей з її переробки. Потрібно так спланувати розподіл коштів, щоб отримати найбільшу кількість цукру. При цьому урожайність цукрових буряків вважається випадковою величиною .

Розв’язування. Нехай q₁ — питомі витрати коштів на вирощування цукрового буряку на одному гектарі; q₂ — питомі приведенні витрати на створення одиниці потужності; d — частка виходу цукру з одиниці сировини; х — планова площа під цукровим буряком; y — планова потужність цукрового заводу.

Потрібно максимізувати приріст обсягу виробництва цукру за обмежених коштів. Економіко-математична модель набирає вигляду:

за умов

,

.

Задача 6.42.

Фермер має можливість купити три види зерна, щоб готувати з них різні суміші для відгодівлі свиней.

Дані про поживність зерна, його вартість і мінімальні та максимальні потреби в поживних речовинах відбиває таблиця:

№ п/п	Зерно	Поживні речовини				Ціна, грн.
		Кормових одиниць, ц	Перетравний протеїн, кг	Лізин, кг	Кальцій, кг
1	Ячмінь, ц	1,15	8,5	0,41	45		45
2	Кукурудза, ц	1,33	7,3	0,21	40		40
3	Горох, ц	1,18	19,2	1,42	0,2		50
4	Потреба в поживних речовинах, кг:
	а) максимальна	106	890	45	12
	б) мінімальна	95,4	801	41	9

Потреба в поживних речовинах розподілена рівномірно.

Розробити економіко-математичну модель і знайти оптимальний розв’язок, який забезпечував би мінімальні витрати на закупівлю зерна і задовольняв мінімально допустимі потреби в усіх поживних речовинах з імовірністю .

Розв’язування. Нехай х₁, х₂, х₃ — кількість, кг, ячменю, кукурудзи та гороху, які необхідно закупити.

Критерій оптимальності

за умов

,

,

,

,

де a, b, c, d — випадкові рівномірно розподілені величини.

Цю систему ймовірнісних обмежень запишемо детермінованими еквівалентами:

,

,

,

,

де a₁, b₁, c₁, d₁ — значення випадкових величин, що задовольняють відповідно умови:

і ;

і .

Визначимо параметри a₁, b₁, c₁, d₁. Із теорії ймовірностей відомо, що

.

Отже, маємо, або;,.

Звідси знаходимо: ;і.

Запишемо детермінований варіант економіко-математичної моделі купівлі фермером зерна, яке використовуватиметься для відгодівлі свиней:

за умов

,

,

,

,

, ,.

Розв’язавши цю задачу симплексним методом, дістанемо ;;. Оптимальні витрати становлять 3749 грн.