6.2. Дробово-лінійне програмування

6.2.1. Постановка задачі та алгоритм розв’язування

Розв’язуючи економічні задачі, часто за критерій оптимальності беруть показники рентабельності, продуктивності праці тощо, які математично подаються дробово-лінійними функціями. Загальну економіко-математичну модель у цьому разі записують так:

за умов

,

.

Припускають, що знаменник цільової функції в області допустимих розв’язків системи обмежень не дорівнює нулю.

Алгоритм розв’язування задачі дробово-лінійного програмування передбачає зведення її до задачі лінійного програмування. Щоб виконати таке зведення, позначимо

,

зробимо заміну змінних

.

і запишемо економіко-математичну модель:

за умов

,

,

.

Дістали задачу лінійного програмування, яку можна розв’язати симплексним методом. Нехай оптимальний план

Оптимальні значення x_0j знайдемо за формулою

.

6.2.2. Приклади дробово-лінійних задач

Задача 6.14.

Сільськогосподарське акціонерне товариство з обмеженою відповідальністю, яке розміщене в Лісостепу України, має намір оптимізувати структуру виробництва. За критерій оптимальності взято максимізацію рентабельності як відношення прибутку до собівартості. Дані про види діяльності, що їх здійснюватиме товариство, наведено в таблиці:

Показник	Діяльність з вирощування							Ресурс
	озимої пшениці, га	цукрових буряків, га	корів продуктивністю, кг				кормових культур, га
			5000	4500	4000	3500
Урожайність, т/га	4	35	—	—	—	—	6	—
Собівартість, грн./т	600	250	600	700	800	9000	200	—
Ціна, грн./т	800	300	1000	1000	1000	1000	—	—
Вихід кормів, тон кормо- вих одиниць/га	0,8	2,0	—	—	—	—	6	—
Витрати живої праці, людино-днів/га	4	25	6	6	6	6	3	26 000
Витрати механізованої праці, людино-днів/га	2	8	3	3	3	3	2	11 000
Частка корів у стаді	—	—	0,1	0,2	0,3	0,4	—
Потреба в кормах, т/гол	—	—	5	4,7	4,4	4,1	—	—

Акціонерне товариство має 2500 га ріллі.

Записати економіко-математичну модель і знайти оптимальну структуру виробництва.

Розв’язання. Введемо позначення:

х₁ — площа посіву озимої пшениці, га;

х₂ — площа посіву цукрового буряка, га;

х₃ — площа посіву кормових культур, га;

х₄ — кількість корів продуктивністю 5000 кг;

х₅ — кількість корів продуктивністю 4500 кг;

х₆ — кількість корів продуктивністю 4000 кг;

х₇ — кількість корів продуктивністю 3500 кг.

Запишемо критерій оптимальності:

за розглянутих далі умов.

1. Обмеження за ресурсами.

1) Ріллі:

.

2) Живої праці:

.

3) Механізованої праці:

.

2. Обмеження сівозміни.

1) Посівна площа кормових має бути більша або дорівнювати площі під озимою пшеницею:

.

2) Посівна площа озимої пшениці має бути більша або дорівнювати площі під цукровими буряками:

.

3. Структура корів за продуктивністю.

1) Балансове рівняння щодо корів:

,

де — загальна кількість корів.

2) Частка корів продуктивністю 5000 кг:

.

3) Частка корів продуктивністю 4500 кг:

.

4) Частка корів продуктивністю 4000 кг:

.

5) Частка корів продуктивністю 3500 кг:

.

4. Забезпеченість корів кормами:

.

Невід’ємність змінних:

.

Щоб знайти розв’язок за цією моделлю, зробимо відповідну заміну й скористаємося симплексним методом:

.

Отже, маємо таку лінійну економіко-математичну модель:

за розглянутих далі умов.

1. ,

,

.

2. , або,

, або .

3. ,

,

,

,

.

4. .

5. .