Завдання 5

Задача отримання максимальної ефективності від вкладу депозиту у розмірі А грн. в одному із чотирьох банків в залежності від відсоткової ставки В, рівня довіри С та додаткових можливостей D.

Створіть експертний комітет не менше ніж з трьох експертів з різним досвідом та різною обізнаністю з даної проблеми. Підтвердіть отримані висновки графічно та аналітично, застосовуючи алгоритми отримання підсумкового результату нечіткого виводу по Ларсену, за Мамдані та Такагі-Суджено.

Значення параметрів А, В, С та D студенти вибирають самостійно.

Розв’язання

Математична теорія нечітких множин (fuzzy sets) і нечітка логіка (fuzzy logic) є узагальненнями класичної теорії множин і класичної формальної логіки. Поняття нечіткої логіки було вперше введено професором Лотфі Заде в 1965 році. У його статті поняття множини було розширено припущенням, що функція приналежності елемента до множини може приймати будь-які значення в інтервалі [0 ... 1], а не лише 0 або 1. Дані множини були названі нечіткими. Також автором були запропоновані різні логічні операції над нечіткими множинами і запропоновано поняття лінгвістичної змінної, як значення якої виступають нечіткі множини.

Основною причиною появи нової теорії стала наявність нечітких та наближених міркувань при описі людиною процесів, систем, об’єктів.

Тріумфальне визнання нечіткої логіки по світу почалося після доведення в кінці 80-х XX ст. Бартоломеєм Коско знаменитої теореми FAT (Fuzzy Approximation Theorem). У бізнесі і фінансах нечітка логіка отримала визнання після того як в 1988 році експертна система на основі нечітких правил для прогнозування фінансових індикаторів єдина передбачила біржовий крах. І кількість успішних фазі-застосувань в даний час обчислюється тисячами.

Характеристикою нечіткої множини виступає функція приналежності (Membership Function). Позначимо через – ступінь належності до нечіткої множини , що представляє собою узагальнення поняття характеристичної функції звичайної множини. Тоді нечіткою множиною C називається множина впорядкованих пар виду , . Значення означає відсутність приналежності до множини, значення 1 – повну приналежність.

Для нечітких множин, як і для звичайних, визначено основні логічні операції. Основними з яких та найбільш необхідними для розрахунків, є перетин і об’єднання.

Перетин двох нечітких множин (нечітке "І"):

(5.1)

Об’єднання двох нечітких множин (нечітке "АБО"):

(5.2)

В теорії нечітких множин розроблено загальний підхід до виконання операторів перетину, об’єднання та доповнення, реалізований в так званих трикутних нормах і конормах. Наведені вище реалізації операцій перетину та об’єднання – найбільш поширені випадки t-норми і t-конорми.

Для опису нечітких множин вводяться поняття нечіткої і лінгвістичної змінних.

Нечітка змінна – це кортеж виду <α, X, Α>, де α – це назва змінної, X – універсальна множина (область визначення), A – нечітка множина на X.

Значеннями лінгвістичної змінної можуть бути нечіткі змінні, тобто лінгвістична змінна знаходиться на більш високому рівні, ніж нечітка змінна.

Лінгвістична змінна – це кортеж виду <β, T, X, G, M>, де

• β – назва лінгвістичної змінної;

• T – множина її значень, яка також називається базовою терм-множиною T. Елементами базової терм-множини є назви нечітких змінних;

• X – універсальна множина (універсам нечітких змінних);

• G – синтаксичне правило (процедура), за яким генеруються нові терми із застосуванням слів природної або формальної мови;

• M – семантичне правило, яке кожному значенню лінгвістичної змінної ставить у відповідність нечітку підмножину множини X.

Для кожного лінгвістичного терма з базової терм-множини T, необхідно побудувати функції належності. Існує понад десяток типових форм кривих для завдання функцій приналежності. Найбільше поширення отримали: трикутна, трапецієвидна і Гаусова функції приналежності.

Моделі статичних і динамічних систем, побудова, використання та аналіз яких базується на положеннях теорії нечітких множин і нечіткої логіки називають нечіткими моделями або нечіткими системами.

Метою нечіткого моделювання складних явищ є наближений опис залежності (апроксимація деякої функції):

(5.3)

де – вихідна лінгвістична змінна;

– вектор вхідних лінгвістичних змінних розмірністю ;

– залежність між та , описувана сукупністю нечітких продукційних правил.

Нечіткі моделі представляють узагальнення інтервально-оцінюваних моделей, які, в свою чергу, є узагальненням чітких моделей.

В основі нечітких продукційних моделей лежать сукупність нечітких правил «ЯКЩО-ТО», що описують залежності між нечіткими змінними предметної області, композиційне правило виведення і спосіб обчислення значень нечітких змінних (спосіб нечіткого виводу).

Модель опису поведінки систем на природній (або близькій до природної) мові у вигляді наближених міркувань в теорії нечітких множин і нечіткої логіки, заснована на композиційному правилі виведення, називається системою нечіткого логічного висновку.

У систему нечіткого логічного виведення входять наступні об’єкти:

1. сукупність нечітких продукційних правил (база правил);

2. набір функцій належностей бази нечітких змінних (база змінних);

3. блок фазифікації;

4. блок дефазифікації;

5. блок виведення.

База правил зберігає множину логічних правил виведення, а також їх порядок (ієрархічну структуру) застосування. База нечітких змінних містить назви лінгвістичних термів та параметри їх функцій приналежності. База правил разом з базою нечітких змінних утворюють базу знань (БЗ) системи нечіткого висновку.

Рисунок 5.1 – Система нечіткого виведення

Найпростіші системи нечіткого логічного висновку засновані на правилах виду:

	(5.4)
	(5.5)

де – вхідні нечіткі змінні;

– вихідна нечітка змінна;

, – вхідні значення (функції належності);

– вихідні нечіткі значення (функції належності);

– деякі дійсні функції.

При цьому повинні дотримуватися наступні умови:

1. існує хоча б одне правило для кожного лінгвістичного терма вихідної змінної;

2. для будь-якого терма вхідної змінної є хоча б одне правило, в якому даний терм використовується як передумова (ліва частина правила).

В іншому випадку має місце неповна база нечітких правил.

Розглянемо основні етапи нечіткого виведення. Говорячи про нечітку логіку, найчастіше мають на увазі системи нечіткого виведення, які широко використовуються для управління технічними пристроями та процесами. Розробка і застосування систем нечіткого виведення включають в себе ряд етапів, реалізація яких виконується за допомогою розглянутих раніше основних положень нечіткої логіки.

Інформацією, яка надходить на вхід системи нечіткого виведення, є виміряні вхідні змінні. Дані змінні відповідають реальним змінним процесу управління. Інформація, яка формується на виході системи нечіткого виведення, відповідає вихідним змінним, якими є керуючі змінні процесу управління.

Системи нечіткого виведення призначені для перетворення значень вхідних змінних процесу управління у вихідні змінні на основі використання нечітких правил продукцій. Для чого системи нечіткого виводу повинні містити базу правил нечітких продукцій та реалізовувати нечіткий висновок на основі посилок або умов, представлених у формі нечітких лінгвістичних висловлювань.

Таким чином, основними етапами нечіткого виведення є:

1. формування бази правил систем нечіткого виведення;

2. фазифікація вхідних змінних;

3. агрегація підумови в нечітких правилах продукцій;

4. активізація або композиція підзаключень в нечітких правилах продукцій;

5. акумулювання висновків нечітких правил продукцій.

Рисунок 5.2 – Діаграма діяльності процесу нечіткого виведення

Алгоритми нечіткого виведення розрізняються головним чином видом правил, що використовуються, логічних операцій і різновидом методу дефазифікації. Розроблено моделі нечіткого виведення Мамдані, Сугено, Ларсена та Цукамото.

Розглянемо алгоритм нечіткого логічного висновку за методом Мамдані. Механізм нечіткого логічного висновку (inference) ґрунтується на знаннях, сформованих спеціалістами цієї предметною галузі у вигляді сукупності нечітких породжувальних правил (правил логічного висновку):

(5.6)

Частину правила перед ключовим словом then («то») називають умовою або передумовою (antecendent), а завершальну частину «y є В» – наслідком або висновком (consequent).

Проілюструємо механізм нечіткого логічного висновку на прикладі обчислень значень функції Припустимо, що маємо базу знань, яка складається з двох правил:

	(5.7)
	(5.8)

де та – це нечіткі множини, визначені для відповідних нечітких змінних, котрі мають функції належностей та .

Тепер за наданими значеннями та знайдемо конкретне . Слід зазначити, що даний приклад легко узагальнити для довільної кількості вхідних (x) і вихідних (y) змінних.

Для формування нечіткий логічного висновку за методом Мамдані необхідно виконати наступні кроки:

1. Введення нечіткості (fuzzification): Для чітко заданих вихідних значень розраховують ступені належності до окремих множин. Для розглядуваного прикладу визначають числові значення та .

2. Нечітка імплікація. Знаходять функції належності передумов кожного окремого правила за конкретних вхідних сигналів:

	– для оператора «and»,	(5.9)
	– для оператора «or».	(5.10)