Учебник логики

средство (А), большой вместимости (B), самодвижущееся (C), перемещается по поверхности воды (D).

Понятия об n-ках предметов. Понятие супружеской пары

не являются понятиями об индивидах. Употребляя термин «супружеская пара», мы мыслим не отдельных людей, а пары людей <x,y>, находящихся в отношении «x женат на y». Элементами объема данного являются пары людей, которые находятся друг с другом в супружеских отношениях. Элементами понятий об n-ках могут быть не только пары, но и наборы большей длины. Например, понятие расстояния между городами. Его элементами будут тройки <x,y,z>, связанные между собой отношением «расстояние между городами x и y равно z», где x и y - города, а z - численная величина расстояния между ними в одной из метрических систем.

Понятия о свойствах и отношениях. Объемы понятий могут состоять не только из конкретных предметов, но и из свойств, которыми эти предметы могут обладать. Примером такого понятия является цвет. Элементами его объема будут не конкретные предметы, а сами цвета - красный, зеленый, синий, желтый и т.д. Другой пример - понятия о необходимых свойствах планет, при которых может возникнуть белковая форма жизни. Очевидно, что в числе свойств будет

защищенность от космических излучений, температурные ограничения, химический состав и пр. Задача формирования такого понятия является в настоящее время важной исследовательской программой, над реализацией которой работают многие ученые, занимающиеся космической биологией.

Но не только свойства могут быть элементами объема понятий. Ими могут быть и различные отношения. Например, в объем понятия родственных отношений входят такие отношения как родитель, мать, отец, сын, дочь, брат и т.д.

Понятия о множествах. Элементами объема могут быть также и различные множества. Например, элементами объема

121

понятия стадо являются различные стада как совокупности животных - коров, овец, баранов и пр.

В учебниках по логике можно встретить другие термины для деления понятий по характеру элементов объема - конкретные и абстрактные, собирательные и несобирательные. К

конкретным относят те понятия, которые нами были названы понятиями об индивидах, n-ках и множествах. К абстрактным относят все остальные понятия, т.е. понятия, элементами объема которых могут быть свойства и отношения. К собирательным относят понятия, элементами объема которых являются множества - стадо, коллектив, библиотека, лес, армия. К числу

несобирательных относятся все остальные понятий - стул, человек, цвет.

5.3.3 По характеру признаков

Положительными называются понятия, в основном содержании которых встречаются только положительные признаки.

Человек - это политическое животное.

Некоторый предмет x принадлежит объему понятия Человек, если и только если x обладает свойствами быть Животным и быть Политическим (участвовать в политической жизни).

Отрицательными называются понятия, в основном содержании которых встречается хотя бы один отрицательный признак. Отрицательные признаки говорят об отсутствии у элементов объема тех или иных свойств и отношений -

бесхвостый, бездетный, бесперый, не имеющий спинки.

Человек - это Двуногое Животное, которое не Покрыто перьями

122

Некоторый предмет x принадлежит объему понятия Человек, е. и т.е. x обладает свойствами быть Животным, быть Двуногим, но не обладает свойством быть Покрытым перьями.

Трезвенник - это Человек, который не Употребляет спиртные напитки.

Некоторый предмет x принадлежит объему понятия Трезвенник, е. и т.е. x обладает свойствами быть Человеком, но не обладает свойством быть Употреблять спиртные напитки.

Относительными называются понятия, в основном содержании которых встречается хотя бы один признакотношение.

Учитель - это человек, который обучает других людей.

Некоторый предмет x принадлежит объему понятия Учитель, е. и т.е. x обладает свойствами быть Человеком, и существует хотя бы один другой человек y, с которым он находится в отношении x Обучает y.

Рабовладелец - это человек, который владеет другими людьми

Некоторый предмет x принадлежит объему понятия Рабовладелец, е. и т.е. x обладает свойствами быть Человеком, и существует хотя бы один другой человек y, с которым он находится в отношении x Владеет y.

Раб - человек, который является собственностью другого человека

123

другой человек y, с которым он находится в отношении y Владеет x.

Безотносительными называются понятия, в основном содержании которых не встречаются признаки-отношения. Примерами таких понятий являются человек, трезвенник.

5.4 Отношения между понятиями

Коль скоро понятия зафиксированы, можно говорить о различных отношениях между ними, которые столь же объективны и не зависят от нашей воли, как и отношения между множествами. Именно благодаря объективности этих отношений и возможно построение теории рассуждений.

Отношения между понятиями можно устанавливать как по объемным характеристикам понятий, так и по их содержанию.

Сравнимыми называются два или более понятий, в содержании которых есть хотя бы один общий признак. Понятия Дельфина и Человека сравнимы, поскольку они содержат общий признак Живое существо.

Несравнимыми называются понятия, содержание которых не содержит ни одного общего признака. Например, понятия Числа и Человека несравнимы.

Совместимыми называются понятия, объемы которых имеют хотя бы один общий элемент. Возможные отношения между их объемами изображены на рисунке.

124

Рис. 5-1

Частными случаями отношения совместимости понятий, являются отношения перекрещивания, равнозначности и включения.

Два понятия А и В находятся в отношении перекрещивания, если они их объемы имеют общие элементы, и имеются элементы объема понятия В, которые не входят в объем понятия А, и имеются элементы объема понятия А, которые не входят в объем понятия В. В отношении перекрещивания находятся понятия

студент и спортсмен; женщина и философ.

Два понятия находятся в отношении равнозначности, если их объемы совпадают. Это частный случай совместимых понятий. Примерами равнозначных понятий являются квадрат и равносторонний прямоугольник; сын и внук; женщина и дочь.

Два понятия находятся в отношении включения, если объем одного из них целиком содержится в объеме другого. В отношении включения находятся понятия человек и млекопитающее; философ и гуманитарий; мать и дочь.

Несовместимыми называются понятия, объемы которых не имеют общих элементов. С точки зрения содержания они могут иметь общий признак, но с точки зрения объема у них нет общих элементов - человек и дельфин.

Рис. 5-2

125

Примерами несовместимых понятий являются квадрат и треугольник. Это геометрические фигуры, но ни один квадрат не является треугольником.

5.5 Булевы операции над понятиями

С помощью ряда операций из уже существующих понятий можно образовывать новые понятия.

Пересечение. Если у нас есть два понятия, мы образовать новое понятие, объем которого будет состоять из тех предметов, которые входят одновременно в объемы двух исходных понятий.

Рис. 5-3

Например, у нас есть понятие Учащийся университета и есть понятие Студентка. Из них мы можем построить понятие Студентка университета, в объем которого будут включены лишь те предметы, которые одновременно принадлежат объемам понятий Учащийся университета и Студентка. Для этого на уровне общих имен мы просто соединяем их терминообразующим союзом «и».

Студентка университета = Учащийся университета и Студентка

Объединение. Иногда может возникнуть задача объединения объемов различных понятий в один объем. Например, понятие Медалист_Олимпиады. Его объем будет состоять из объединения

126

объемов трех понятий Золотой_медалист, Серебряный_медалист и Бронзовый медалист

Рис. 5-4

Для этого на уровне общих имен мы просто соединяем их терминообразующим союзом «или».

Медалист = Золотой медалист или Серебряный медалист или Бронзовый медалист

Вычитание. Результатом вычитанием понятия В из понятия А будет новое понятия, элементами которого являются те предметы универсума, которые принадлежат объему A, но не принадлежат объему B.

Рис. 5-5

В примере выше мы из двух понятий Учащийся университета и Студентка образовали понятие Студентка

127

университета = Учащийся университета и Студентка. Из этих же двух понятий с помощью операции вычитания мы можем образовать понятие Студент университета. Для этого на уровне общих имен мы просто соединяем их терминообразующим союзом «и» и отрицательной частицей «не».

Студент университета = Учащийся университета и не Студентка.

Дополнение. Операция дополнения понятия A является частным случаем вычитания. Его объем будет состоять из тех предметов универсума U, которые не принадлежат объему A.

Рис. 5-6

Если в качестве универсума рассуждений взять множество всех чисел, то дополнением к понятию Четное число будет понятие Нечетного числа. Их объемы вместе составляют весь универсум, но не пересекаются друг с другом. На уровне общих имен мы просто добавляем отрицательную частицу «не» или соответствующую ей приставку.

5.6 Ограничение и обобщение понятий

Ограничение - логическая операция перехода от некоторого понятия А к другому понятию В, при котором объем понятия В оказывается частью объема понятия А.

128

Пример: писатель - русский писатель - русский писатель XIX века.

Очевидно, что русских писателей меньше, чем просто писателей, а русских писателей XIX века меньше, чем русских писателей. В данном ряду переход от одного понятия к другому сопровождается уменьшением их объема.

Для непустых понятий пределом их ограничения считается единичное понятие. Вариантами предельного ограничения понятия русский писатель XIX века может быть понятие автор романа ’Дворянское гнездо’.

Наиболее распространены два способа ограничения понятий. В первом случае к содержанию понятия добавляется еще один признак с помощью союза «и».

Пример:

Писатель - человек, занимающийся литературным творчеством.

Русский писатель - человек, занимающийся литературным творчеством, и русский по национальности.

Русский писатель XIX века - человек, занимающийся литературным творчеством, русский по национальности и жил в XIX веке.

Во втором случае, если в содержание понятия входят признаки, соединенные союзом «или», их отбрасывают.

Пример:

Медалист олимпиады - участник олимпиады, получивший золотую медаль или получивший серебряную медаль, или получивший бронзовую медаль

Победитель олимпиады - участник олимпиады, получивший золотую медаль.

129