2. Проверка адекватности модели

Существует 4 обязательных свойства, которым должны отвечать «Остатки» , чтобы найденное уравнение регрессии было адекватным:

1. Случайность колебаний уровней остаточной последовательности,

2. Соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения,

3. Равенство нулю математического ожидания случайной компоненты,

4. Независимость значений уровней случа йной компоненты.

Рассмотрим способы проверки этих свойств:

• Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности.

Проверка гипотезы о правильности выбора уравнения регрессии. Для исследования случайности отклонений уравнения находятся разности:

,

где:

i = 1 ÷ n, (n = 20),

ε_i - случайная переменная,

y_i - фактическое значение ряда,

ỹ_i - теоретическое значение ряда.

Характер этих отклонений изучается с помощью ряда непараметрических критериев. Одним из таких критериев является критерий серий, основанный на медиане выборки. Ряд из величин ε_i располагают в порядке возрастания их значений и находят медиану ε_m, полученную из вариационного ряда, то есть срединное значение при n нечетном или среднюю арифметическую из 2-х соседних срединных значений при четном n.

Возвращаясь к исходной последовательности ε_i и сравнивая значение этой последовательности с ε_m ставят знак «+», если ε_i > ε_m; «-», если ε_i< ε_m, соответственно значение ε_i опускается, если ε_i=ε_m. Таким образом, получается последовательность, состоящая из «+» и «-», общее число которых не превосходит n.

Последовательность подряд идущих «+» или «-» называется серией. Для того, чтобы последовательность ε_i была случайной выборкой, протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее количество серий слишком малым. (Медиана ε_m = -1613).

Обозначим протяженность самой длинной серии K_max, a общее число серий через v. Выборка признается случайной, если выполняются следующее неравенства для 5%-го уровня значимости:

K_max<[3,3lg(n+l)] ; ,

где квадратные скобки означают целую часть числа.

Если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней ряда от теоретических уровней отвергается и модель признается неадекватной.

В данной работе: Таблица 11

Наблюдение	Предсказанное C	Остатки
1	266270,76	-2165,76	-
2	262520,7197	15864,28	+
3	258770,6794	-10218,7	-
4	255020,6391	6842,361	+
5	251270,5988	-2211,6	-
6	247520,5585	-4415,56	-	Kmf=	3	модель неадекватна
7	243770,5182	-9792,52	-	Nmf=	8	модель адекватна
8	240020,4779	4133,522	+
9	236270,4376	5067,562	+
10	232520,3974	-9473,4	-	Kmd=	3
11	228770,3571	-4304,36	-	Nmd=	3
12	225020,3168	-3286,32	-
13	221270,2765	10425,72	+
14	220020,2631	3534,737	+

Протяженность самой длиной серии К_mах = 3. Если посчитать К_mах по формуле, то мы получим 3 = 3. Общее число серий v = 8>3.

Поскольку одно из неравенств не выполняются, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней остаточной компоненты не принимается и, следовательно, модель признается неадекватной.

• Соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения.

Проверка второго свойства производится с помощью нахождения показателей асимметрии γ₁ и эксцесса γ_2.

В качестве оценки асимметрии используется формула:

Оценка эксцесса:

где:

—выборочная характеристика асимметрия,

—выборочная характеристика эксцесса,

—среднеквадратичная ошибка асимметрии,

—среднеквадратичная ошибка эксцесса.

Если одновременно выполняются неравенства,

,

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты принимается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств,

,

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается, линейная модель уравнения регрессии признается неадекватной.

В данной работе:

	0,277790599
	0,531368931
	-0,98019977
	0,781203327

0,28	<	0,8		-0,58	<	1,17

0,28	<	1,06		-0,58	<	1,56

Одновременно выполняются условия || < 1,5 σ_y1 и <1,5 σ_{y2 ,}

а значит гипотеза о нормальном распределении принимается; соответственно данная модель отвечает второму свойству.

• Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю.

Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия находится по формуле:

,

где – среднее арифметическое значение;

S_ε – стандартное среднеквадратическое отклонение для этой последовательности.

Если расчетное значение t меньше табличного значения по статистике Стьюдента с заданным уровнем значимости α и числом степеней свободы к = n – 1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается. В противном случае - отвергается, и модель считается неадекватной.

В данной задаче:

	3,94981E-11
	5328,879859

Отсюда t_pacч = 2,77334E-14, t_табл = 2,101.

Так как t_pacч < t_табл, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается и модель признается адекватной.