Лекція 25 Рівняння Шредінгера та його застосування

1. Головне рівняння нерелятивістської квантової механіки

Головне рівняння нерелятивістської квантової механіки було сформульоване в 1926 році Е. Шредінгером. Воно має такий вигляд:

,

де , – маса частинки; – оператор Лапласа , – уявна одиниця; – потенційна функція частинки в силовому полі; – розшукувана хвильова функція частинки.

Це рівняння доповнюється умовами, що накладаються на хвильову функції, а саме:

1) хвильова функція повинна бути скінченною, однозначною і неперервною;

2) похідні повинні бути неперервними;

3) функція повинна інтегруватися; ця умова в найпростіших умовах зводиться до умови нормування вірогідності.

2. Стаціонарне рівняння Шредінгера

Для багатьох фізичних явищ, що відбуваються в мікросвіті, головне рівняння Шредінгера можна спростити, виключивши залежність від часу. Тоді матимемо стаціонарне рівняння Шредінгера, тобто рівняння Шредінгера для стаціонарних станів – станів з фіксованими значеннями енергії. В такому випадку силове поле, в якому частинка рухається, буде стаціонарним, тобто має смисл потенційній енергії.

Розв'язок рівняння Шредінгера представимо у вигляді добутку двох функцій, одна з яких є функцією тільки координат, друга – тільки часу, причому залежність від часу виражається множником :

де – повна енергія частинки.

Підставивши в загальне рівняння Шредінгера, і виконавши нескладні перетворення отримаємо рівняння Шредінгера для стаціонарних станів:

.

Наклавши граничні умови на розв'язок, відбирають рішення, що мають фізичний смисл. Для рівняння Шредінгера такими умовами є умови регулярності хвильових функцій: хвильові функції повинні бути скінченними, однозначними і неперервними разом зі своїми першими похідними.

Реальний фізичний смисл мають тільки такі розв'язки, які виражаються регулярними функціями . Проте регулярні розв'язки мають місце не при будь-яких значеннях параметра Е, а лише при певному їх наборі, характерному для даної задачі. Ці значення енергії називаються власними. Розв'язки, які відповідають власним значенням енергії, називаються власними функціями. Власні значення Е можуть утворювати як неперервний, так і дискретний ряд. В першому випадку говорять про неперервний спектр, в другому – про дискретний спектр.

3. Рух вільної частинки

Розглянемо рух вільної частинки, тобто частинки, що рухається у відсутність зовнішніх полів вздовж осі . Оскільки зовнішні сили на частинку не діють, то її потенційна енергіяі її можна прирівняти нулю. В такому випадку рівняння Шредінгера для стаціонарних станів матиме вигляд:

Прямою підстановкою можна впевнитись, що частинним розв'язок цього рівняння є функція

,

де і, з власними значеннями

.

Залежна від часу хвильова функція

,

де позначено: .

Ця функція є плоскою монохроматичною хвилею де Бройля.

Густина вірогідності виявлення частинки в даній точці простору

не залежить від часу, тобто всі положення вільної частинки в просторі рівноімовірні.

Енергетичний спектр вільної частинки. З формули витікає, що залежність енергії від імпульсу

є звичайною для нерелятивістських частинок. Енергія вільної частинки може приймати будь-які значення (адже хвильове число може приймати будь-які позитивні, значення), тобто енергетичний спектр вільної частинки неперервний.