Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.5. Несобственные интегралы.

4.5. Несобственные интегралы.

4.5.1.Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегриро- вания.

4.5.2.Несобственные интегралы от неограниченных функций.

∫

Определенный интеграл ( ) рассматривался при двух условиях:

а) промежуток [ ; ] конечен, б) функция ограничена на [ ; ].

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то данное в разде-

∫

ле 4.3 определение интеграла ( ) не имеет смысла. Если, например,

промежуток интегрирования бесконечный, то его нельзя разбить на частей конечной длины. Если же функция неограничена на [ ; ], то не существует конечного предела интегральных сумм. Обобщим понятие интеграла и на эти случаи.

Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.5. Несобственные интегралы.

4.5.1. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегриро-

4.5.1.Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования.

Пусть не выполняется условие а), например, функция определена на промежутке [ ; +∞). Предположим, что она интегрируема на любом отрезке [ ; ], т.е. существует интеграл ∫ ( ) .

Определение. Несобственным интегралом первого рода или несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования

Определение. Если предел (4.39) существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл ∫сходится, если же этот предел не существует или бесконечен, то интеграл +∞ ( ) называется расходящимся.

Чтобы лучше понять идею этого обобщения, рассмотрим его геометрическую интерпретацию. Пусть, например, функция является неотрицательной и невозрастающей на [ ; +∞) (рисунок 4.13).

Интеграл ∫ ( ) числено равен площади заштрихованной криволинейной трапеции. При возрастании эта площадь будет увеличиваться. При

Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.5. Несобственные интегралы.

4.5.1. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегриро-

этом она может неограниченно возрастать либо оставаться ограниченной и стремиться к какому-то пределу. Этот предел и есть ∫ +∞ ( ) . Подчеркнем, что площадь фигуры, заключенной между графиком функции = ( ) и осью вправо от точки = , может быть конечной, не смотря на то, что эта фигура является неограниченной.

Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода состоит в том, что он численно равен площади полубесконечной фигуры, ограниченной графиком неотрицательной функции, прямой = 0 и частью оси

[ ; +∞].

Пример 4.32. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость):

∫+∞

− .

0

Решение. По определению (см. (4.39)) имеем:

Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.5. Несобственные интегралы.

4.5.1. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегриро-

Меню вания. Назад Вперёд

Пример 4.33. Вычислить несобственный интеграл (или установить его рас-

Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.5. Несобственные интегралы.

4.5.1. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегриро-

Пусть функция определена на всей числовой прямой (−∞; +∞). Те-

перь рассмотрим интеграл

∫+∞

( ) . (4.40)

−∞

Зафиксируем произвольное число R. Разобъем этот интеграл на два

где — произвольное число.

Интеграл (4.40) называют сходящимся, если оба интеграла в правой части равенства (4.41) сходятся и расходящимся — в противном случае.