2.4.4. Непрерывность элементарных функций

Интересно, являются ли элементарные функции непрерывными. Рас-

смотрим вначале простейшие элементарные функции.

Постоянная функция ( ) = является непрерывной в каждой точке числовой прямой. Действительно, R

lim ( ) = = ( ).

→

Непрерывной на всей числовой прямой является и функция ( ) = . Действительно, R

lim = .

→

Отсюда по теореме 2.14 получим, что степенная функция ( ) = дляN непрерывна на R, так как есть произведение непрерывных функций ( ) = .

есть функция, непрерывная на R.

Рациональная функция ( ) = (( )) , где и — многочлены, есть также непрерывная функция всюду на R за исключением тех точек, в которых знаменатель ( ) обращается в нуль.

Можно доказать, что степенная функция ( ) = является непрерывной на всей своей области определения для любых R, а не только для натуральных показателей.

Следствие 2.2. Тригонометрическая функция tg является непрерывной во всех точках, где cos ̸= 0, т.е. ̸= /2 + для Z, а функция ctg — во всех точках, где sin ̸= 0, т.е. ̸= для Z.

Можно также доказать, что функции ( ) = и ( ) = log для 0 < ̸= 1 также являются непрерывными в области своего существования: первая — на R, вторая — на (0, +∞).

Исходя из определения элементарных функций, теоремы 2.14 об алгебраических свойствах непрерывных функций, теоремы 2.15 о непрерывности сложной функции и теремы 2.16 о непрерывности обратной функции можно доказать следующую теорему.

Теорема 2.18 (о непрерывности элементарных функций). Любая элементарная функция непрерывна во всех точках области своего существования.

Пример 2.19. Исследовать на непрерывность функцию ( ) = sin| | .

Решение. Пусть > 0. Тогда ( ) = sin . Эта функция непрерывна как частное двух непрерывных функций. Если же < 0, то функция ( ) = −sin непрерывна на промежутке (−∞; 0) по такой же причине. Осталось исследовать функцию в точке = 0. Имеем:

Таким образом, левый и правый пределы существуют, конечны и различны. Следовательно, в точке = 0 функция имеет разрыв 1-го рода.

1

Пример 2.20. Исследовать на непрерывность функцию ( ) = .

Решение. По теореме 2.18 о непрерывности элементарных функций данная функция непрерывна на своей области определения, т.е. всюду на числовой оси, кроме точки = 0. Исследуем функцию ( ) в этой точке:

11

Следовательно, = 0 — точка разрыва 2-го рода.

2.4.5. Теоремы о непрерывных на отрезке функциях

Определение. Функция = ( ) называется непрерывной на отрезке [ ; ], если она непрерывна в каждой точке интервала ( ; ), непрерывна справа в точке = и непрерывна слева в точке = .

Теорема 2.19 (об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция ( ) непрерывна в точке , и ( ) ̸= 0. Тогда существует -окрестность

Геометрический смысл теоремы об устойчивости знака состоит в том, что если функция непрерывна в точке и отлична в ней от нуля, то некоторая часть графика этой функции, проходящая через точку ( ; ( )), не пересекает ось (рисунок 2.51).

y

f (a)

Рисунок 2.51

Теорема 2.20 (Больцано—Коши, первая). Пусть функция непрерывна на отрезке [ , ] и на концах этого отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка ( ; ), в которой ( ) = 0.

Геометрический смысл первой теоремы Больцано—Коши также очевиден. Поскольку функция непрерывна на отрезке, то ее график состоит из одного «сплошного» куска. Эта кривая соединяет точки ( ; ( )) и ( ; ( )), одна из которых лежит ниже оси , вторая — выше оси (рисунок 2.52). Следовательно, существует точка на оси , в которой график пересекает ось .

Первую теорему Больцано—Коши легко обобщить.

Теорема 2.21 (Больцано—Коши, вторая). Пусть функция непрерывна на отрезке [ ; ], причем ( ) ̸= ( ). Тогда, если — любое число, лежащее

строго между ( ) и ( ), то существует точка ( ; ) такая, что ( ) = .

[Доказательство]

Другими словами, теорема 2.21 утверждает, что непрерывная на отрезке [ ; ] функция принимает любое свое промежуточное значение.

Геометрический смысл второй теоремы Больцано—Коши проиллюстрирован рисунком 2.53.

Теорема 2.22 (Вейерштрасса, первая). Если функция непрерывна на отрезке [ , ], то она ограничена на этом отрезке.

Заметим, что если в первой теореме Вейерштрасса вместо отрезка [ ; ] рассматривать интервал ( ; ) или какой-либо полуинтервал, то функция ( ) может оказаться и неограниченной. Например, функция ( ) = 1 непрерывна на полуинтервале (0; 1], но не ограничена на нем.

Теорема 2.23 (Вейерштрасса, вторая). Непрерывная на отрезке [ ; ] функция достигает в некоторых точках этого отрезка своих максимума и минимума, т.е. существуют точки и , принадлежащие [ ; ], для которых

Из второй теоремы Вейерштрасса, в частности, следует, что непрерывная на отрезке [ ; ] функция имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.