2.3.4. Бесконечно малые функции

Определение. Функция ( ) называется бесконечно малой при → (БМФ), если

Согласно определению предела функции по Коши функция ( ) является бесконечно малой при → тогда и только тогда, когда

lim ( ) = 0.

→

Обратим внимание на необходимость указания точки, в которой функция является бесконечно малой. Например, функция = 2 является бесконечно малой при → 0, но не является бесконечно малой при → 1. В самом деле,

Свойства БМФ

1.Сумма любого конечного числа БМФ есть БМФ. [Доказательство]

2.Бесконечно малая функция при → является ограниченной в неко-

торой окрестности точки . [Доказательство]

3. Произведение бесконечно малой функции при → и функции, ограниченной в некоторой окрестности точки , есть бесконечно малая функция

2.3.5. Бесконечно большие функции

Определение. Функция ( ) называется бесконечно большой при →

(ББФ), если для любого числа > 0, сколь большим оно бы ни было, существует такое > 0, что для всех , удовлетворяющих условию 0 < | − | < , выполнено неравенство | ( )| > , т.е.

В этом случае применяется обозначение:

lim ( ) = ∞.

→

Если известно, что при 0 < | − | < функция ( ) принимает только положительные (отрицательные) значения, данное обозначение может быть дополнено путем указания знака бесконечности:

Не забывайте указывать точку, в которой функция является бесконечно большой. Например, функция = 1/( −2) является бесконечно большой при → 2, но не является бесконечно большой при → 1.

Свойства бесконечно больших функций

1.ББФ при → не ограничена ни в какой окрестности точки = .

2.Произведение ББФ при → и функции, имеющей ненулевой предел при → , есть ББФ при → .

3.Частное ББФ при → и функции, имеющей конечный предел при

→ , есть ББФ при → .

4.Произведение двух ББФ при → есть ББФ при → .

5.Сумма ББФ при → и ограниченной в некоторой окрестности точки

функции есть ББФ при → .

Связь между БМФ и ББФ характеризует следующая теорема.

Теорема 2.7. Если ( ) — БМФ при → , причем ( ) ̸= 0 при ̸= ,

то 1/ ( ) — ББФ при → . И обратно, если ( ) — ББФ при → , то

1/ ( ) — БМФ при → . [Доказательство]

2.3.6. Свойства предела функции

При исследовании свойств предела функции мы будем пользоваться рассмотренными ранее свойствами БМФ.

[Доказательство]

Решение. Очевидно, что

lim ( − 1) = 0.

→1

Поэтому свойство предела частного здесь применить нельзя. Однако заметим, что и

lim ( 3 − 1) = 0.

→1

Говорят, что здесь имеем неопределенность вида 00 . Преобразуем выражение под знаком предела:

Так как при рассмотрении предела функции в точке = 1 ее аргумент не принимает значения, равного 1, то

Решение. Здесь имеем неопределенность вида 00 . Поэтому выражение под знаком предела следует преобразовать. Числитель содержит радикал, и в этом случае частное удобно умножить и разделить на «сопряженное» выражение √5 + 2 + 3. Будем иметь:

Решение. Числитель и знаменатель в отдельности при → ∞ являются ББФ. Поэтому непосредственно перейти к частному пределов на основании свойства 7 нельзя. Преобразуем функцию, стоящую под знаком предела. Разделим числитель и знаменатель на в наибольшей степени, т.е. в данном случае, 2. Имеем: