Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.1. Предел числовой последовательности |
|
Меню 2.1.6. Предельный переход в неравенствах |
Назад Вперёд |
2.1.6. Предельный переход в неравенствах
Теорема 2.2. Если
lim = |
|
→∞ |
|
и, начиная с некоторого номера, > , то > . |
[Доказательство] |
Следствие 2.1. Если элементы сходящихся последовательностей { } и { }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству 6 , то и их пределы удовлетворяют неравенству
lim 6 lim .
→∞ →∞
[Доказательство]
С помощью настоящего следствия можно доказать следующую теоре-
му.
Теорема 2.3 (о сжатой последовательности). Пусть даны три последовательности { }, { }, { }, и, начиная с некоторого номера, 6 6 , пусть последовательности { } и { } имеют один и тот же предел . Тогда последовательность { } также имеет предел .
Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.1. Предел числовой последовательности |
|
Меню 2.1.7. Монотонные последовательности |
Назад Вперёд |
2.1.7. Монотонные последовательности
Определение. Последовательность { } называется возрастающей, если
N 6 +1, убывающей, если N +1 6 .
Определение. Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными.
Определение. Если N < +1, то последовательность { } называется строго возрастающей, если же N +1 < , то строго убывающей.
Определение. Строго возрастающие и строго убывающие последовательности называются строго монотонными.
Рассмотрим примеры монотонных последовательностей:
а) 0, 12, 23, . . . , − 1, . . . — строго возрастающая ограниченная последовательность. Очевидно, она сходится, причем
lim − 1 = 1.
→∞
б) 2, 4, 8, . . . , 2 , . . . — строго возрастающая неограниченная последова-
тельность. Эта последовательность является ББП.
√
с) 1, |
3 |
, . . . , sin |
|
|
, . . . — строго убывающая ограниченная последо- |
|||||||
2 |
+ 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вательность, причем |
( |
− + 1) |
|
|
|
|||||||
|
|
→∞ |
+ 1 |
|
→∞ |
→∞ |
+ 1 |
|
||||
|
|
lim sin |
|
= lim sin |
|
|
|
= lim sin |
|
= 0. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
d)0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , [ /2], . . . , где квадратные скобки обозначают целую часть числа, — возрастающая, но не строго возрастающая ББП.
Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.1. Предел числовой последовательности |
|
Меню 2.1.7. Монотонные последовательности |
Назад Вперёд |
Оказывается, что все монотонные ограниченные последовательности обладают общим свойством — они сходятся.
Теорема 2.4. Монотонная ограниченная последовательность сходится.
Таким образом, ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходимости.
Рассмотрим важный пример монотонной ограниченной последовательности.
Теорема 2.5. Последовательность |
(1 + ) |
|
||
= |
(2.1) |
|||
|
1 |
|
|
|
сходится. |
|
|
|
[Доказательство] |
Определение. Предел последовательности (2.1), существующий в силу теоремы 2.5, обозначается буквой :
= →∞ |
(1 + ) |
. |
(2.2) |
|
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Число известно как основание натуральных логарифмов. Из соотношений (Д.7) и (Д.8) вытекает, что 2 < < 3. Можно доказать, что число является иррациональным, = 2,7182 . . . Это число играет важную роль в математике и ее приложениях.
Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.1. Предел числовой последовательности |
|
Меню 2.1.8. Непрерывное начисление процентов |
Назад Вперёд |
2.1.8. Непрерывное начисление процентов
В банковской системе, как правило, практикуются дискретные проценты по вкладам. Если начальная сумма вклада составляла 0 денежных единиц, — годовая процентная ставка, представленная в виде десятичной дроби, и проценты начисляются один раз в год, то каждый год вклад будет увеличиваться в (1 + ) раз. Таким образом, через лет сумма вклада составит
= 0(1 + ) .
Если проценты начисляются не один, а раз в году, то при сохранении годовой процентной ставки сумма вклада каждый раз будет увеличиваться в (1+ ) раз. По прошествии лет таких увеличений произойдёт , и сумма
вклада составит |
(1 + ) |
. |
(2.3) |
||
= 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
Некоторые сложные экономические процессы по своей природе подразумевают столь частое начисление процентов, что его можно считать непрерывным. Для таких процессов количество начислений в год принимает очень большие значения, которые можно условно считать близкими к бесконечности. Поэтому сумму вклада в момент времени в таких случаях можно определить, если в формуле (2.3) перейти к пределу при → ∞. Предположим, что процентная ставка = 1, то есть вклад удваивается каждый год1, и N. По свойству 4 сходящихся последовательностей и определению числа (2.2)
= →∞ |
|
0 |
( |
|
) |
|
= 0 |
( →∞ (1 + |
) |
) |
|
0 |
|
|
lim |
|
|
|
1 + |
1 |
|
|
|
lim |
1 |
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1Разумеется, не стоит рассчитывать на такие проценты в реальной жизни.
Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.1. Предел числовой последовательности |
|
Меню 2.1.8. Непрерывное начисление процентов |
Назад Вперёд |
Можно доказать, что для произвольной процентной ставки и любого, не обязательно целого, времени > 0
= 0 . |
(2.4) |
Соотношение (2.4) определяет закон непрерывного начисления процентов. Процентная ставка при непрерывном начислении процентов называется
силой роста.
Заметим, что, чем чаще начисляются проценты, тем быстрее растёт вклад. Данный факт объясняется дополнительной прибавкой сложных процентов, то есть процентов от процентов. При фиксированной годовой ставкевклад растёт быстрее всего, если проценты начисляются непрерывно.
Поясним сказанное на примере. Предположим, что начальный вклад0 = 1, процентная ставка = 1 и проценты начисляются раз в год. Вычислим по формуле (2.3) размер вклада через год для некоторых значений
:
= 1: |
= (1 + 1)1 = 2; |
= 10: |
= |
(1 + 10) |
≈ 2,594; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
10 |
|
= 100: |
= |
(1 + 100) |
|
≈ 2,705; |
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
= 1000: |
= |
(1 + 1000) |
1000 |
≈ 2,717. |
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае непрерывного начисления процентов через год вклад вырастет максимально и согласно (2.4) составит
= 1 = ≈ 2,718.