Часть I. Теория

Глава 1. Аналитическая геометрия 1.2. Кривые второго порядка

1.2. Кривые второго порядка

1.2.1.Окружность

1.2.2.Эллипс

1.2.3.Гипербола

1.2.4.Парабола

1.2.5.Кривые второго порядка со смещенным центром

1.2.1. Окружность

Определение. Окружность — это множество точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии , называемом радиусом окружности, от точки( 0, 0) — центра (смотрите рисунок 1.9).

Рисунок 1.9

Согласно формуле для расстояния между двумя точками (1.1) уравнение окружности может быть представлено в виде

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (1.16) принимает вид

2 + 2 = 2.

Пример 1.10. Доказать, что уравнение 2 + 2 − 4 + 2 − 4 = 0 задаёт окружность. Найти её центр и радиус.

Решение. Сгруппируем все члены уравнения, содержащие , а потом — содержащие :

( 2 − 4 ) + ( 2 + 2 ) = 4.

Дополним выражения в скобках до полных квадратов:

( 2 − 4 + 4) − 4 + ( 2 + 2 + 1) − 1 = 4, ( − 2)2 + ( + 1)2 = 32.

Мы преобразовали исходное уравнение к виду (1.16), где 0 = 2, 0 = −1 и = 3. Следовательно, это уравнение задаёт окружность, центр которой находится в точке (2, −1) и радиус равен 3.

Часть I. Теория

Глава 1. Аналитическая геометрия 1.2. Кривые второго порядка

Меню 1.2.2. Эллипс Назад Вперёд

1.2.2. Эллипс

Определение. Эллипс (смотрите рисунок 1.10) — это геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

называемому каноническим уравнением эллипса.

Из определения следует, что эллипс

1)симметричен относительно осей координат и начала координат;

2)целиком лежит внутри прямоугольника | | 6 , | | 6 .

Выполним построение эллипса. Для первой четверти, где координаты

, > 0, выразим явно переменную через :

Используя это уравнение, построим эллипс в первой четверти. Затем, симметрично отображая построенный фрагмент относительно осей и центра координат, получим весь эллипс (смотрите рисунок 1.10).

Определение. Точки 1(− , 0), 2( , 0), 1(0, − ), 2(0, ) (рисунок 1.10), очевидно, принадлежащие эллипсу, называются вершинами эллипса.

Определение. Начало координат (0, 0) (рисунок 1.10), играющее роль центра симметрии эллипса, называют центром эллипса.

Определение. Отрезки 1 2 и 1 2 (рисунок 1.10), а также их длины 2 и 2 , называют большой и малой осями эллипса.

Часть I. Теория

Глава 1. Аналитическая геометрия 1.2. Кривые второго порядка

Меню 1.2.2. Эллипс Назад Вперёд

Определение. Отрезки 2 и 2 (рисунок 1.10), представляющие собой половины большой и малой осей, и их длины и называют большой и малой полуосями эллипса.

Из (1.17) следует, что > > 0, поэтому 0 6 < . Точки 1(− ; 0) и2( ; 0) (рисунок 1.10) называют фокусами эллипса.

Если < , то уравнение (1.17) задаёт эллипс, больш´ая полуось которого равна и лежит на оси , а малая равна и лежит на оси . Фокусы такого эллипса расположены в точках 1(0, − ) и 2(0, ), где 2 = 2 − 2 (смотрите рисунок 1.11).

Определение. Расстояния 1 и 2 (рисунок 1.10) от точки эллипса до его фокусов 1 и 2 называются левым и правым фокальными радиусами этой точки.

Часть I. Теория

Глава 1. Аналитическая геометрия 1.2. Кривые второго порядка

Меню 1.2.2. Эллипс Назад Вперёд

Теорема 1.3. Точка плоскости принадлежит эллипсу (1.17) тогда и только тогда, когда сумма ее фокальных радиусов равна 2 :

[Доказательство]

Определение. Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется эксцен-

триситетом

= .

Так как 0 6 < , то 0 6 < 1. Если, в частности, = , то = 0 и= 0. В этом случае фокусы сливаются в одной точке — центре, и эллипс деформируется в окружность с уравнением 2 + 2 = 2. По мере возрастания эксцентриситета от нуля до единицы увеличивается «сплющенность» эллипса.

Из равенств (Д.2) и определения эксцентриситета следует, что фокальные радиусы любой точки ( , ) эллипса могут быть найдены по формулам:

1 = + , 2 = − .

Часть I. Теория

Глава 1. Аналитическая геометрия 1.2. Кривые второго порядка

Меню 1.2.2. Эллипс Назад Вперёд

Умножим обе части первого уравнения системы на 8, а второго — на 5; затем вычтем второе уравнение из первого:

Итак, искомое уравнение эллипса имеет вид 2 + 2 = 1.

10