Лекция 2

Жылуөткізгіштік туралы оқудың негізгі жағдайлары.

1.6 Жылуөткізгіштіктің дифференциалдық теңдеуі.

Жылу өткізгіштіктің дифференциалдық теңдеуін қорытып шығару үшін зерттеп отырған физикалық жүйеден көлемі кішкентай элементар бөлігін тік бұрышты параллепипед түрінде бөліп алып, сонда жүріп жатқан жылу алмасу үрдісін қарастырайық(1.3-сурет).

1.3 –сурет. Жылу өткізгіштіктің дифференциалдық теңдеуін қорытуға.

Параллелипипед жақтары тиісті координаттық беттерге параллель орналасқан. Алдын ала көлемі кішкентай элементар бөлік деген ұғымға түсінік беру керек. Қарастырып отырған жүйеде жүріп жатқан құбылысты анықтайтын бірнеше айнымалылардың арасындағы байланысты жалпы түрде анықтау оңайға түспейді. Сондықтан, әдетте уақыт аралығын кішірейтіп, жүйеден шамасы өте аз элементар көлемді ойша бөліп алады. Бұл көлем соншалықты кішкентай болғандықтан құбылысты бейнелейтін кейбір шамалардың өзгерісін ескермеуге болады, бірақ соның өзінде элементар бөліктің көлемі жеткілікті түрде үлкен болуы себепті оның дискреттік құрылысын ескермей әлі де болса тұтас орта деп санаймыз.

Міне осындай шарттарды қанағаттандыратын элементар көлемдегі жылу алмасу үрдісі энергияның сақталу заңына бағынуға тиіс:

dQ₁ + dQ₂ =dQ, (1.22)

мұндағы dQ₁ — d ішінде жылуөткізгіштіктің элементарлық көлем жолымен еңгізілген, жылу мөлшері, Дж; dQ₂—d уақыты ішінде элементарлық көлемде dv ішкі көздердің нәтижесінде жылудың бөлінуі ; dQ —dуақыты ішінде элементарлық көлемде dv болатын заттың энтальпиясы немесе ішкі энергиясының өзгерісі.

(1.22) теңдеудегі құраушыларды анықтау үшін dx, dy, dz жақтаулары бар денеде элементарлы параллелепипедті бөліп аламыз (1.3-сурет).

Ox, Оу, Oz осьтерінің бағыттары бойынша dx уақыты ішіндегі элементарлық көлемнің жылу мөлшері сәйкесінше dQx, dQv, dQz белгіленеді.

Сол бағыттағы қарама-қарсы шекарасындағы жылу мөлшері сәйкесінше келесі түрде dQx, dQv, dQz белгіленеді. d уақыты ішінде Ох осі бағыты бойынша dy dz шеттеріне әкелінген жылу мөлшері dO_x = q_xdy dz d құрайды, мұндағы q_x нұсқалған шектегі нормаль бағыты бойынша жылу ағын тығыздығының проекциясы.

Ох осінің бағытына қарама-қарсы элементарлық параллелепипедте бағытталған жылу мөлшері келесі түрде жазылады:

dQ_х+dх = q_x+dxdy dz d.

Ох осі бағыты бойынша d уақыты ішінде алынған және элементарлы парал­лелепипедке апарылған жылу мөлшерінің айырымы келесі түрде болады:

dQ_х1=dQ_x-dQ_x+dx

немесе

dQ_x1 = q_xdy dz d—q_x+dxdy dz d (a)

q_x+dx функциясы үздіксіз қарастырылатын dx интервалында Тейлор қатарына жіктелуі мүмкін:

q_x+dx=q_x+…

Қатардың бірінші екі мүшесімен шектелсек, онда (а) теңдігі келесі түрде жазылады:

dQ_x1= - (б)

Оу және Ох остері координаттарының бағыты бойынша және элементарлық көлемге әкелінетін жылу мөлшерін аналогті түрде анықтауға болады. Қарастырылатын көлемге жылуөткізгіштікпен апарылатын жылу мөлшері dQ келесіге тең:

dQ₁= - (в)

(1.22) теңдеудің екінші бөлігін анықтайық. Жылудың ішкі көздерінің қуаты деп аталатын және уақыт бірлігінде ортаның көлем бірлігінде ішкі көздердің q_v, Вт/м³ арқылы, бөлінетін жылу мөлшерін келесі теңдікпен анықтаймыз:

dQ₂ =q_vdvd (г)

(1.22) теңдеудің үшінші бөлігі жиі өзгерісінің термодинамикалық үрдісінің сипатынан тәуелді. Изохоралық үрдісті қарастыру кезінде, элементарлық көлемге әкелінетін жылу, заттың ішкі энергиясының өзгерісіне кетеді, т.с.с. dQ = dU.

Егер бірлік көлемінің ішкі энергиясын қарастырылатын болсақ, онда dU келесі түрде анықталады:

dU = C_v ddv = c_v ddv (д)

мұндағы C_v — көлем бірлігіндегі изохоралық жылу сыйымдылық, Дж/(м³-К); c_v — масса бірлігіндегі изохоралық жылу сыйымдылық, Дж/(кг-К); — заттың тығыздығы, кг/м³.

Алынған (в), (г) және (д) нәтижелерді (1.22) теңдеуге қойсақ, келесіні аламыз:

с_v = - +q_v (1.23)

немесе

с_v = - div q + q_v (1.23 ^/)

(1.23) теңдеу жылу тасымалдаудың изохоралық үрдісі үшін энергияның

дифференциалдық теңдеуі болып табылады. Изобаралық үрдісті қарастыру кезінде көлемге әкелінетін жылу, зат энтальпиясының өзгеруі кезінде кететін жылу, (1.22) теңдеу келесі түрде жазылады:

dQ₁ + dQ₂=dI. (1.24)

Егер көлем бірлігіндегі энтальпияны i=i(t, p) жүзінде қарастырсақ, онда теңдеуді келесі түрде болады:

dI=C_pddv= с_p ddv= ddv (e)

мұндағы Ср — көлем бірлігіндегі изобаралық жылу сыйымдылық, Дж/(м³-К); с_р — масса бірлігіндегі изобаралық жылу сыйымдылық, Дж/(кг-К).

Егер (в), (г) және (е) мәндерін (1.24) теңдеуге қойсақ, келесіні аламыз:

= - +q_v (1.25)

немесе

= - div q + q_v (1.25')

(1.25) қатынас жылу тасымалдаудың изобаралық үрдісі үшін энергияның

дифференциалдық теңдеуі болып табылады.

Аталғандарды ескергендегі теңдеудің жалпы түрі келесі түрде жазылады:

(1.26)

(1.26) теңдеу заттың физикалық параметрі болып табылады, және пропорционалды коэффициенті а, м²/с- температура өткізгіштік коэффициенті деп аталады. Ол стационарлы емес жылу үрдістері үшін маңызды және температураның өзгеру жылдамдығын сипаттайды. Егер жылу өткішгіштік коэффициент жылу өткізу мүмкіндігіне ие болса; онда температура өткізгіштік коэффициент дененің жылу инерциялық қасиетінің өлшемі болып табылады. Температура өткізгіштік коэффициенті заттың табиғатынан тәуелді.

Егер дене жүйесі ішкі көздер жылуына ие болмаса (q = 0),онда (1.26) теңдеу Фурье теңдеуінің формасын қабылдайды.

(1.27)

Егер жылудың ішкі көздері болып, бірақ температуралық өріс стационарлы күйге сәйкес келсе t = t(x, у, z), онда жылу өткішгіштіктің дифференциалды теңдеуі Пуассон теңдеуіне айналады:

(1.28)

Сонымен стационарлы жылу өткізгіш үшін және жылудың ішкі көздерінің болмауы кезінде алдындағы теңдік Лаплас теңдеуін қабылдайды:

(1.29)