2.2 Метод Гаусса

Пусть система алгебраических уравнений (2.1) имеет единственное решение (матрица А невырождена). Метод Гаусса– это метод последовательного исключения неизвестных. Суть его состоит в преобразовании системы (2.1) к системе с треугольной матрицей, из которой затем последовательно обратным ходом получаются значения всех неизвестных.

Предположим, что (этого условия можно добиться перестановкой уравнений системы). Введёмn-1 сомножитель и вычтем из каждого i-го уравнения первое, помноженное на .Преобразованная система уравнений запишется в следующем виде:

, где , во всех уравнениях, начиная со второгодля.

Затем, оставим первое уравнение в покое, мы можем исключить из последнихуравнений, затемиз последнихуравнений и т. д., вместо системы (2.1) получим равносильную ей систему с треугольной матрицей:

(2.3)

На некотором k-ом элементе мы исключаем с помощью множителей,. Причём предполагается, что. Тогда,, для.

При происходит исключениеиз последнего уравнения. На этом завершается первый этап решения методом Гаусса.

Такая система (2.3) называется треугольной. Теперь очевидно, что надо делать для решения системы: определить x_n из последнего уравнения и подставить результат в n-1 уравнение и т. д. Этот процесс называется обратной подстановкой.

Отметим, что процесс исключения неизвестных не изменяет абсолютной величины определителя системы, хотя знак определителя и изменяется при каждой перестановке уравнений. После окончания процесса, значение определителя равно произведению диагональных элементов, причём знак этого произведения надо изменить на обратный, если количество перестановок было нечётным.

Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Она состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов заменяется более жёстким: из всех оставшихся в каждом столбце элементов надо выбрать наибольший по модулю и переставить уравнения так, чтобы этот элемент оказался на месте элемента .

2.3 Метод простой итерации

При большом числе неизвестных линейной системы, схема метода Гаусса становится очень сложной, накапливаются ошибки округления. В этом случае удобнее пользоваться приближенными (итерационными) методами. Итерационные методы сводятся к построению итерационной последовательности , сходящейся к точному решению системы. Каждый такой метод характеризуется своей итерационной формулой. В простейшем случае, при вычислениииспользуется только одна предыдущая итерация, гдеk- номер итерации. Такие методы называются одношаговыми.

Предполагая, что диагональные коэффициенты , при, разрешим первое уравнение системы (2.1) относительно, второе – относительно,…, последнее- относительно. В результате получим систему, которая называетсяприведенной:

(2.4),

где ,.

Предположим, что начальные приближения к решению системы известны: (например можно в качестве начальных приближений принять столбец свободных членов). Подставим эти значения в правые части системы (2.4), получим первое приближение, затем вычисленныеподставим снова в правую часть приведенной системы (2.4) и т.д., т.е. строим итерационный процесс и на некоторомk- шаге получим:

(2.5).

Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока все не станут достаточно близки к. Критерий близости можно задать в следующем виде:, для всех. Достаточные условия сходимости следующие:

• , при (2.6)

• , при (2.7)

• , при (2.8)

• Если все , при,то итерационный процесс заведомо сходится. (2.9)

Справедливо следующее утверждение: если выполняется хотя бы одно из условий (2.6) –(2.9), то итерационный процесс сходится к единственному решению системы при любом выборе начального приближения.