2.3.3 Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть X={-1,-2,-3,1,2,3,0} и Y- множество всех натуральных чисел. Каждому числу xXставится в соответствие его квадрат. Выпишите все пары, принадлежащие этому соответствию. Каковы свойства этого соответствия?

2. СоответствияG₁–G₈определены графически на рисунке 7. Найти образы и прообразы: чисел 1, 2, 3, 4; отрезков [2, 3], [1, 2], [2, 4], [3, 4], [3, 5]. Каковы свойства соответствий? Для ответа на последний вопрос определите множества А и В:.

   у у

   G1 g2

   1 1

   0 1 x 0 1 x

Рисунок 7 – СоответствияG₁–G₈

3. Пусть G– множество точек прямой линии, координаты которых удовлетворяют соотношению,. Каковы свойства соответствия? Является ли соответствие взаимно однозначным?

4. Задать несколько типов для функций f(x):

а) ; г);

б) ; д);

в) ; е).

Для каждого из заданных типов функций определить:

а) свойства f;

б) является ли fотображением, и если – да, то каким?

в) имеет ли fобратную функциюf^-1, и если имеет, то является лиf^-1отображением?

5. Англо-русский словарь устанавливает соответствие между множествами английских и русских слов. Каковы свойства этого соответствия?

6. Таблица выигрышей лотереи устанавливает соответствие Gмежду парами чисел изN²(серия и номер выигравшего билета) и множеством выигрышейМ. Является ли заданное соответствие функцией? Если да, то является ли оно отображением?

7. Является ли функция , имеющая тип, отображением, если да, то каким? Имеет ли эта функция обратную; если да, то является лиотображением?

8. Пусть множества , где, иопределены так:- булеан множестваи- множество всех двоичных векторов длины 3, т.е., где. Показать, что между множествамиисуществует взаимно однозначное соответствие.

9. Найти композицию функций: а) и;

б) и. Найти области определения функций и их композиций.

10. Каковы свойства соответствия между множеством натуральных чисел Nи множествомстепеней двойки:? Используя определение равномощности множеств, показать, что– счетно.

11. Дано множество А=и два преобразования этого множества:и. Чему равна композиция преобразований?

12. Какой тип имеет функция , при котором дляfсуществует обратная функцияf ^-1?

13. Пусть Х – конечное множество и отображение инъективно. Доказать, чтоfбиективно.

2.4 Практическое занятие № 9. Операции и их свойства

2.4.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Операциейназывают функцию, все аргументы и значения которой принадлежат одному и тому же множеству:. В таких случаях говорят, что множество Мзамкнутоотносительно операции;nназываетсяарностьюоперации.

При n=1 операция–функция одного аргумента:, она имеет типи называетсяунарной операцией.

При n=2 операция–функция двух аргументов(), она имеет типи называетсябинарной операцией.

Мультипликативнаятерминология: операцияназываетсяумножением, а результат применения этой операции к элементам–произведением.

Аддитивнаятерминология: операцию называетсясложением, а результат ее выполнения –суммойэлементоваиb.

Бинарная операцияназываетсякоммутативнойна множествеМтогда и только тогда, когда.

Бинарная операция называетсяассоциативнойна множествеМтогда и только тогда, когда(выполнение этого условия означает, что скобки в выраженииможно не расставлять).

Бинарная операция являетсядистрибутивнойслеваотносительно бинарной операциина множествеМтогда и только тогда, когда.

Бинарная операция являетсядистрибутивнойсправа относительно бинарной операциина множествеМтогда и только тогда, когда.

Бинарная операция поглощаетбинарную операциюна множествеМтогда и только тогда, когда.

Бинарная операция называетсяидемпотентнойна множествеМтогда и только тогда, когда.

Нейтральным элементомна множестве М называется элемент, удовлетворяющий условию.

В мультипликативной терминологии нейтральный элемент называется единицей; в аддитивной терминологии нейтральный элемент называетсянулем.

Симметричнымэлементомдля элементаназывается элемент, удовлетворяющий условию.

В мультипликативной терминологии элемент, симметричный элементу аназываетсяобратными обозначаетсяа^-1; в аддитивной терминологии нейтральный элемент называетсяпротивоположными обозначается (-а).