2.8 Практические занятия № 16 – 19. Комбинаторика

2.8.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Правило суммы: если множества,, …,таковы, что, если, то.

При k=2правило суммы формулируется так: если объектхможет быть выбранmспособами, а объектудругимиnспособами, то выборхилиуможет быть осуществленm+nспособами.

Правило произведения:пусть объектможет быть выбранспособами,–способами, …,–способами, тогда выбор упорядоченной совокупностиможет быть осуществленспособами.

При k=2правило произведения формулируется так: если объектхможет быть выбранmспособами, и после каждого из таких выборов объектуможет быть выбранnспособами, то выборхиуможет быть осуществленmnспособами.

Размещением из n элементов по k элементовназывается упорядоченный набор изkэлементов, выбранных изnэлементов, расположенных в определенном порядке. Два размещения отличаются друг от друга либо порядком, либо составом своих элементов. Если в размещениях изnпоkнет повторения элементов, то число таких размещений равно

;

если повторение элементов допускается, то число размещений равно

.

Перестановкамибезповторенийназываются размещения без повторений изnэлементов поnэлементов. Число перестановокn элементов вычисляется по формуле

.

Сочетанием из n элементов по k элементовназывается неупорядоченный набор изkэлементов, выбранных изnэлементов. Два сочетания отличаются только составом своих элементов. Если в сочетаниях изnпоkнет повторения элементов, то число таких сочетаний равно

.

В том случае, когда повторение элементов допустимо, число сочетаний равно

.

Число разбиений множестваХна множества,, …,, где|X_i|=n_i (k≥1,i=1..k,) вычисляется по формуле:

.

Комбинаторные задачи соответствуют нескольким основным схемам: задачи о выборках, о перестановках, о разбиениях. Как правило, само условие задачи «подсказывает», какую из комбинаторных схем нужно выбрать. Например, в условии задач о выборках (сочетаниях и размещениях) присутствуют глаголы «выбрать», «разместить», в задачах о перестановках – «переставить», «пересадить», а в задачах о разбиениях – «разбить», «распределить».

При решении задач на выборки, в первую очередь, необходимо установить, из скольких и сколько элементов выбирают, т.е. числа nиk. Далее необходимо определить, какие выборки составляются в задаче: упорядоченные или неупорядоченные. Ответ на этот вопрос, как правило, вызывает затруднение. Для того чтобы на него ответить, необходимо записать две выборки с одним и тем же составом элементов, отличающиеся друг от друга порядком их следования. Если оба варианта по условию задачи задают одну и ту же выборку, то в задаче речь идет о сочетаниях, в противном случае – о размещениях. Наконец, остается определить тип выборки по принципу допустимости повторения элементов. Для этого достаточно записать выборку, в которой повторяются хотя бы два элемента, и установить, соответствует ли она данной задаче.

При решении задачи на перестановки необходимо определить допустимость повторения элементов. В том случае, когда среди переставляемых элементов нет одинаковых, используется формула для числа перестановок без повторений, в противном случае – формула для числа перестановок с повторением. В последнем случае необходимо пересчитать количество элементов, принадлежащих различным классам.

Полиномиальная формула:

,

где –полиномиальные коэффициенты, рассчитываемые по формуле:

.

Биномиальная формула(бином Ньютона):

.

Формула включений и исключений: