Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивано-Франковский национальный технический университет нефти и газа

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",

.pdf

Скачиваний:

1384

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

2.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 4635 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

341

′

= −3x − y

+5e

+1,

x(0) = 5,

б) x

′

= 2x − 2e

y(0) = −6.

10.20. а)

′′

− y

′

= e

(6 cos 2t − 2 sin 2t) ,

y(0) =1,

′

=1;

y (0)

′

= 3x + y −

x(0) = 0 ,

б) x

′

3 t

= −2x +12e

−

y(0) = 0.

10.21. а)

′′

−3y

′

+ 2 y

= cos t + 3sin t , y(0) =

′

y (0) = 3;

x′ = −2 y + 4,

x(0) = 5,

б)

′ = x + 3y + 2t −9,

y(0) = −1.

10.22. а)

′′

−5 y

′

=10t − 2 ,

y(0) = 2,

′

y (0) = −5;

x′ = −x −3y +3t ,

x(0) = 6;

б)

′ = 2x + 4 y +1 − 4t ,

y(0) = −5.

10.23. а)

′′

− 4 y

′

+ 4 y

= e

+8,

y(0) =

′

y (0) = 0;

x′ = −5x − 6 y − 2 − 4t ,

x(0) = 0,

б)

′ = 3x + 4 y +1 + 2t ,

y(0) =1.

10.24. а)

′′

− 4 y

′

+8y

= 5e

y(0) = 0,

′

y (0) =1;

x′ = 4x + 3y − 2 + 5t ,

x(0) = −3,

б)

′ = −6x −5y +1 − 7t ,

y(0) = 4.

10.25. а)

′′

− 6 y

′

+10 y = 4 +10t ,

y(0) = 3,

′

y (0) = 9;

342

x′ = 7x + 4 y −8t ,

x(0) = −4,

б)

′ = −8x −5y + 2 +10t ,

y(0) = 6.

10.26. а)

′′

−8y

′

+ 20 y =12 + 20t ,

y(0) = 2,

′

(0)

= 7 ;

x′ = 7x + 5y +1 + 3t ,

x(0) = 0,

б)

′ = −10x −8y − 2 − 6t ,

y(0) = 2.

10.27. а)

′′

+ 9 y = e

(2 cos t + 9 sin t) ,

′

y(0) = −1, y (0) = 4;

x′ = −5x −3y −1 + 4t ,

x(0) = 3,

б)

′ = 6x + 4 y + 3 −6t ,

y(0) = −2.

10.28. а)

′′

+ y = 6 cos t − 2 sin t ,

′

y(0) = −1, y (0) = 2;

x′ = −3x − 4 y + 2 + 2t ,

x(0) = 3,

б)

′ = 8x + 9 y −1 − 7t ,

y(0) = −2.

10.29. а)

′′

−3y

′

+ 2 y = cos t + 3sin t ,

y(0) = 3,

′

= 5;

y (0)

x′ = −x −3y − 2 + t ,

x(0) = 5,

б)

′ = 6x +8y +1 + 4t ,

y(0) = −4.

10.30. а)

′′

− 4 y

′

+13y = 27e

−13,

y(0) = 3,

′

y (0) = 5;

x′ = 3x + y +3 −8t ,

x(0) = −1,

б)

′ = 2x + 4 y −1 − 2t ,

y(0) = 4.

Задача 11. За допомогою формули Дюамеля знайти розв’язок задачі Коші.

343

11.1.

y′′

− 2 y′ =

y(0)= y′(0)= 0 .

1 + et

11.2.

′′

′

y(0)

′

−3y

+ 2 y = 1 + et

= y (0)= 0 .

11.3.

′′

′

+ y = 2 +sin t ,

y(0)= y (0)= 0 .

11.4.

′′

′

+ y = 1 + tg 2t ,

y(0)= y (0)= 0 .

11.5.

′′

′

+ 4 y = 1 + cos2 2t ,

y(0)= y (0)= 0 .

11.6.

′′

′

+9 y = 1 +sin 2 3t

y(0)= y (0)= 0 .

11.7.

′′

′

− y = 1 + e−t ,

y(0)= y

(0)= 0 .

11.8.

′′

′

+16 y = 3 + cos 4t

y(0)= y (0)= 0 .

11.9.

′′

′

+9 y = 3 +sin 3t

y(0)= y (0)= 0 .

11.10.

′′

+ y

y(0)

′

= 1 + ctg 2t ,

= y (0)= 0 .

11.11.

′′

y(0)

′

− 4 y = 1

+ e2t ,

= y (0)= 0 .

y(0)= y′(0)= 0 .

11.12.

y′′− y′=

1+et

11.13.

′′

′

−9 y = 2

+ e−3t

y(0)= y (0)= 0 .

11.14.

′′

′

+ 4 y = 1

+ tg 2 2t

y(0)= y (0)= 0 .

11.15.

′′

′

+ 4 y = 1

+ ctg 2 2t

y(0)= y (0)= 0 .

11.16.

′′

− y

= th t ,

y(0)

′

= y (0)= 0 .

344

11.17.y′′− 4 y = ch12t ,

11.18.y′′−9 y = 2th 3t +1 ,

11.19.		′′			1
	y		+ 4 y = 2		+sin 2t

11.20.		′′			1
	y		+ 4 y = 1		+ cos 2t

11.21.		′′			1
	y		+ y = 1	+ cos2 t ,

y(0)= y′(0)= 0 .

,y(0)= y′(0)= 0 .

y(0)= y′(0)= 0 .

11.22.

y′′

− 2 y′ =

2et

1 + e−t

11.23.

′′

+ y = 3 + cos t

11.24.

′′

+ y = 3 +sin t

11.25.

′′

− y = 1 + et

11.26.

′′

e2t

− 4 y = 1 + e−2t

11.27.

′′

− y = 2 + e−t

11.28.

y′′

− y′ =

e2t

2 + et

11.29.y′′− 4 y = th 2t ,

11.30.y′′−9 y = ch13t ,

y(0)= y′(0)= 0 .

y(0)= y′(0)= 0 . y(0)= y′(0)= 0 . y(0)= y′(0)= 0 .

345

12 Рівняння математичної фізики

Теоретичні питання

1.Поняття про диференціальні рівняння з частинними похідними та їх загальний розв’язок.

2.Класифікація лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними та зведення їх до канонічного виду.

3.Постановка граничних задач математичної фізики.

4.Постановка задачі про поперечні коливання скінченної струни та розв’язування її методом Фур’є.

5.Постановка задачі про поперечні коливання нескінченної струни та розв’язування її методом Д’Аламбера.

6.Постановка задачі про поздовжні коливання стержня (обмеженої довжини) та розв’язування її методом Фур’є.

7.Рівняння коливань мембрани.

8.Постановка задачі про поширення тепла в стержні (обмеженої довжини) та розв’язування її методом Фур’є та методом сіток (методом скінченних різниць).

9.Задача про поширення тепла в просторі.

10.Постановка задачі стаціонарної теплопровідності. Задачa Діріхле для рівняння Лапласа.

11.Метод Фур’є розв’язування задачі Діріхле для круга.

12.Розв’язування задачі Діріхле методом сіток (методом скінченних різниць).

Розрахункові завдання

Задача 1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння з частинними похідними відносно функції u(x, y).

1.1.	∂2u	= sin2 2 y .	1.2.	∂2u	= e2 x+3 y .
	∂y2			∂x∂y

346

1.3.∂2u = cos(xy).

∂x2

1.5.	∂2u	= sin 2x cos 2 y .
	∂x∂y

1.7.∂2u = 1 .

∂x2 x

1.9.∂2u = x .

∂y2 y2

1.11.	∂2u		= cos(2x +3y).
	∂x∂y

1.13.	∂2u	=	1			.
	∂x2			cos2	2x

1.15.∂2u = x2 y .

∂y2

1.17.	∂2u				=			1		.
	∂x		∂y				x y2

	2								2
		u				x
1.19.	∂
			2
	∂x			=				.
					y

1.21.∂2u = 3 xy .

∂y2

1.23.	∂2u	=	1	.
	∂x∂y		xy

1.4. ∂2u = x2 .

∂x∂y y

1.6.∂2u = exy . ∂y2

1.8.	∂2u	=	1	.
	∂x∂y		x2 y3

1.10. ∂2u = cos2 3x .

∂x2

1.12. ∂2u = xexy .

∂y2

1.14. ∂2u = y .

∂x∂y x

1.16.∂2u = exy2 .

∂x2

1.18.∂2u = e y . ∂x2 x

1.20.	∂2 u	= sin 2 (xy).
	∂x ∂y

1.22.∂2u = x .

∂x2 y

1.24.∂2u = sin x .

∂x2 y

1.25.∂2u = cos2 (xy).

∂x2

1.27.∂2u = 1 .

∂y2 y

1.29.	∂2u	= xln y .
	∂x∂y

347

1.26. ∂2u = xsin x .

∂x∂y

1.28.∂2u = 1 .

∂x2 xy

1.30.∂2u = sin x .

∂y2 y

Задача 2. Знайти загальний розв’язок рівняння, звівши йо-

го до канонічного виду.

2.1.

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x

∂y

∂y2

2.2.

∂2u

+ 4

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.3.

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x

∂y

∂y2

2.4.

∂2u

+ 3

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.5.

∂2u

+16

∂2u

∂

= 0 .

∂x

∂x∂y

∂y2

2.6.

∂2u

+16

∂2u

+16

∂

= 0 .

∂x2

∂x

∂y

∂y2

2.7.

∂2u

+ 20

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.8.

∂2u

+12

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y

2.9.

∂2u

= 0 .

∂x

∂y

348

2.10.

∂

+ 28

∂2u

∂

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.11.

∂2u

+32

∂2u

∂

= 0 .

∂x2

∂x

∂y

∂y2

2.12.

∂

+ 20

∂2u

+ 25

∂

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.13.

∂2u

+ 2

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.14.

∂2u

∂

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.15.

∂2u

+12

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.16.

∂2u

+16

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.17.

∂2u

+ 20

∂2u

+ 75

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.18.

∂2u

+ 24

∂

108

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.19.

∂2u

+ 28

∂

147

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.20.

∂2u

+32

∂2u

192

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.21.

∂2u

+36

∂2u

243

∂

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.22.

∂

+ 28

∂2u

+ 49

∂

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

2.23.

∂

+32

∂2u

+ 64

∂

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

349

2.24.

∂2u

+12

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x

∂y

∂y2

2.25. 48

∂2u

+16

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x

∂y

∂y2

2.26.

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x

∂y

∂y2

2.27.

108

∂2u

+ 24

∂2u

∂

= 0 .

∂x

∂x∂y

∂y2

2.28.

147

∂2u

+ 28

∂2u

∂

= 0 .

∂x

∂x∂y

∂y2

2.29.

192

∂2u

+32

∂2u

= 0 .

∂x

∂x∂y

∂y2

2.30.

∂2u

−

∂2u

= 0 .

∂x2

∂x∂y

∂y2

Задача 3.

3.1.Вертикальний важкий стержень довжиною l закріплений так, що зміщення у всіх точках дорівнюють нулю.

Вмомент часу t=0 стержень звільняється, залишаючись закріпленим в верхній точці. Поставити задачу про поздовжні коливання стержня.

3.2.Сформулювати задачу математичної фізики:

∂2u

= a

∂

∂t2

∂x2

u(0, t)

= 0 ,

u(x, 0)= 0 ,

∂u(l , t)

Asin ωt

∂u(x, 0)

0 .

∂x

∂t

3.3. Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а до другого кінця в момент часу t = 0 прикладається сила величиною At . Стержень перебував у стані спокою.

350

3.4. Сформулювати задачу математичної фізики:

∂2u		= a	2 ∂2u
∂t2				∂x2	,

u(0, t)			= 0 ,
	∂u(l , t)
				= 0	,
		∂x

a2 = Eρ ,

u(x, 0)= δ

		l
∂u(x, 0)
	∂t	=

x ,

0 .

3.5. Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого закріплений пружно, а другий вільний, причому в початковий момент часу зміщення в стержні дорівнювали нулю, а швидкості розподілялися за законом

F(x)= ex −1 .

3.6. Сформулювати задачу математичної фізики:

∂2u		= a	2 ∂	2u		,
∂t2			∂x2

u(0, t)			= 0 ,
	∂u(l , t) =
					M

					ES
		∂x

a2 =		E		,
a2 =		ρ		,
		ρ		u(x, 0)= Ax ,
				u(x, 0)= Ax ,
∂2u(l , t)					∂u(x, 0)
∂2u(l , t)			,		∂u(x, 0)	= 0 .
∂t	2		,		∂t	= 0 .
∂t					∂t

3.7.Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а до другого кінця прикладено розтягуючу силу F, яку в момент часу t = 0 знято без початкової швидкості.

3.8.Сформулювати задачу математичної фізики:

∂2u

= a

∂

∂t2

∂x2

u(0, t)

= 0 ,

u(x, 0)= 0 ,

∂u(l , t)

∂u

(x, 0)

= 0 .

∂x

∂t

3.9. Поставити задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а на другому кінці зосереджено масу M , причому попередньо стержень було розтягнуто на величинуδ .

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 4635 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.07.2019179.2 Кб8ГПЗ_Технологічний процес.doc
#
17.02.20162.3 Mб38граві-магніто розв.посібник.doc
#
01.05.2025609.28 Кб0Графи.doc
#
01.04.202549.84 Кб0Гроші та кредит.docx
#
14.11.20181.07 Mб25грунтознавство (Дутчин М.М.) 310111.doc
#
17.02.20162.45 Mб1384Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",.pdf
#
01.05.202543.89 Кб0дієслово.docx
#
07.12.20181.13 Mб3дільниця (1).doc
#
13.11.2019445.95 Кб38движок_60.doc
#
12.08.2019166.4 Кб1Дейдей.doc
#
12.11.2019103.94 Кб1Декларація про валютні цінності, доходи та майн...doc