Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",

.pdf
Скачиваний:
1383
Добавлен:
17.02.2016
Размер:
2.45 Mб
Скачать

 

 

 

x3dx

 

3.3.

а)

 

;

 

 

0

 

16x4 +1

 

 

 

 

xdx

 

3.4.

а)

 

;

 

 

1

 

16x4 1

 

 

 

0

 

xdx

 

3.5.

а)

 

;

 

 

−∞

(x2 + 4)3

 

 

 

x2 dx

 

3.6.

а)

 

;

 

 

0

3

(x3 +8)4

 

 

 

 

xdx

 

3.7.

а)

 

;

 

 

0

4

(16 + x2 )5

 

 

 

xdx

 

3.8.

а)

 

;

 

 

4

 

x2 4x +1

dx

3.9.а) 1π(x2 +4x +5);

xdx

3.10.а) 1 x2 + 4x +5 ;

arctg2x

3.11.а) ( )dx ;

π1+ 4x2

0

 

 

16dx

3.12. а) 1

 

;

π(4x2 + 4x +5)

 

2

 

 

 

151

 

 

1

 

 

 

 

 

3+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

x

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3 (3 x)5

 

 

 

 

 

 

 

 

б) 1

ln(3x 1)

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

20x

2

9x +1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 2 dx

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

(1 x)ln

2

 

(1

x)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

ln(2

3x)

 

 

 

 

б)

3

 

3

dx .

 

 

 

 

 

2

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

6

6

 

 

 

 

cos 3x

 

5 dx .

 

 

 

 

 

0

 

 

(1 sin 3x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2xdx .

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

0

3

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1 +3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

152

3.13.а)

3.14.а)

3.15.а)

3.16.а)

3.17.а)

3.18.а)

 

xdx

 

 

;

4x2 + 4x +5

0

 

 

 

 

 

(x + 2)dx

 

;

0

 

3 (x2 +4x +1)4

3 x2

 

 

dx ;

 

x2 + 4

 

0

 

 

 

 

 

2

arctg22 x dx ;

0

 

π

1+ 4x

 

 

 

 

 

 

4dx

1 x(1+ln2 x);

xsin xdx ;

0

 

 

б) 1

5

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3 4x

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

tgx

 

 

 

 

 

 

б)

e

 

 

dx .

 

 

 

 

cos

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

1

2

arcsin x

 

 

 

 

2e

 

π

 

 

 

 

 

б)

 

 

dx .

 

 

0

π

1x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 5 4x

x2 4

 

б)

π7sin xdx2 .

 

 

 

 

 

 

π

cos x

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

0

 

dx .

 

 

 

 

 

3

4x + 3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

7dx

 

 

 

 

2

 

 

xdx

 

 

3.19. а)

 

 

 

 

;

 

 

 

б)

 

 

3 .

 

 

 

2

4x)ln 5

 

 

 

 

 

 

−∞ (x

 

 

 

 

 

1

(x2 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

πdx

 

 

 

 

 

3

 

dx

3.20. а) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

б) 0

 

 

 

 

;

 

 

 

.

(1 + 9x2 )arctg 2 3x

 

9x2

9x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

б) 2 3sin 3 xdx .

3.21. а)

 

 

 

 

 

 

;

 

 

2

(4 + x2 ) πarctg

x

 

 

 

0

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

153

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

9xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

3.22. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

3 9 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x4 dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

3.23. а)

e3x xdx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3 1x5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x

2

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.24. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

.

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64 x6

 

−∞ x

 

 

1 1+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

dx .

 

 

 

3.25. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

б)

 

 

9

 

 

 

 

 

2x

2

2x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

x2 dx

 

 

 

 

 

 

 

3.26. а) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

31(x3 1).

 

 

 

 

x2 (x +1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

dx 2

 

 

 

 

3.27. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

б)

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

e2 x(ln x 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3x x

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

10xdx .

 

3.28. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

6x

 

5x +1

 

 

 

 

0

 

 

4 (16 x2 )3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) 4

 

dx .

 

 

 

3.29. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

9x

2

9x +

2

 

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1 4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

3.30. а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

б)

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

x

 

 

3x + 2

 

 

 

 

0 (2x 1)

 

 

 

 

 

 

154

Задача 4. Обчислити площу фігур, обмежених вказаними лініями.

4.1. а)

y = (x 2)3 ,

 

y = 4x 8 ;

б)

r = 3

cos 2ϕ ;

 

 

= 4

 

2 cos

3

t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x = 2

(x 2).

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2

 

2 sin

t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2. а)

y = x2 ,

y = 3 x ;

б)

r = 4 cos 3ϕ,

 

r = 2 (r 2);

 

 

= 2 cos t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y = 2 (y 2).

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

 

2 sin t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3. а)

y =

x ,

 

y = x3 ;

 

 

б)

r = 6 sin 3ϕ,

r = 3 (r 3);

 

 

=16 cos

3

t

,

 

x = 2 (x 2).

 

 

 

в) x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2 sin

 

t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.4. а)

y = 4 x2 ,

 

 

y = x2 2x ;

б) r = cosϕ, r = 2 cosϕ ;

 

 

 

 

 

 

3

t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) x = 7 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 7 sin

t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.5. а)

y = (x +1)2 , y 2

= x +1;

б)

r = 4cos3ϕ ;

 

x

= 2 cos t

,

 

y

= 3 (y 3).

 

 

 

в)

= 6 sin t ,

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.6. а)

y = arccos x ,

y = 0 ,

x = 0 ;

б)

r = 3cos 2ϕ ;

 

x

= 2(t sin t),

 

y = 3

(0 < x < 4π , y 3).

в)

= 2(1 cos t),

 

y

 

 

 

 

 

 

 

4.7. а)

y = 2x x2

 

+ 3,

 

y = x2

4x + 3 ;

б) r = 2(1cosϕ);

 

 

=16 cos

3

t

,

 

x = 6

3

(x 6

3).

 

в) x

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = sin

t

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

155

4.8. а)

y = x

9 x2

,

y = 0

 

(0 x 3) ;

б) r 2 = 2 sin 2ϕ ;

x = 6 cos t ,

y = 3

(y 3).

 

в)

 

 

 

y = 2 sin t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

4.9. а)

y = xarctg x ,

y = 0 ,

 

x =

3 ;

б) r = sin 6ϕ ;

в)

x = 4(t sin t),

y

 

= 0 (0 t 2π ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 4(1 cos t),

 

 

 

 

 

4.10. а) y =

x

,

y = 0 ,

 

x =1;

б) r = 2(1+cosϕ);

 

1

+

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

2 cos

3

t ,

 

 

 

 

 

 

x =

 

 

x = 4 (x 4).

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

2 sin

t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.11. а) y = 4 x2 , y =

в) x = 2 2 cos t ,

y = 3 2 sin t ,

0 , x = 0 , x =1; б) r = 2sin 3ϕ ;

y = 3 (y 3).

4.12. а) y =

ex 1 ,

y = 0 , x = ln 2 ;

 

 

б)

r = 2 +cosϕ ;

 

x

= 6(t sin t),

y = 9

(0 < x

<12π , y 9).

в)

= 6(1 cos t),

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

4.13. а)

y =

1

 

,

 

y =

x2

;

б) r =1 +

2 cosϕ ;

1+ x2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 32 cos

3

t ,

x = 4 (x 4).

 

 

 

 

 

 

в) x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = sin

t

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.14. а)

y2 = x +1,

y

2 = 9 x ;

б) r =

 

3

cosϕ, r =

5

cosϕ ;

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

156

 

x =

3cos t ,

y = 4 (y 4) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 8sin t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.15. а)

y2 = x3 , x = 0 ,

y = 4 ;

 

б)

r = sin ϕ,

r = 2 sin ϕ ;

 

x =

6(t sin t),

 

y = 6

(0 < x <12π , y 6).

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 6(1 cos t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.16. а)

y = x2 8 x2 ,

y = 0

(0 x 2

 

 

2 ); б) r = 4sin 2 ϕ ;

 

 

8 cos

3

t

,

x = 3

3

(x 3

3).

 

 

 

 

в) x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 4 sin

t

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.17. а)

y = (x 1)2 ,

y2

= x 1 ;

 

б)

r = 4 cos 4ϕ ;

 

x = 3cos t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2 sin t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.18. а)

y2 = 9x , y = 3x ;

 

 

 

б) r =

 

1

+ cosϕ ;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

10(t sin t),

 

y

=15 (0 < x < 20π , y 15).

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

y =10(1 cos t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.19. а)

y = x

2

cos x ,

y

=

 

 

 

 

π

 

;

 

б) r

2

= 9 sin 4ϕ ;

 

0 0 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

3(cos t + t sin t),

y

= 0 (0 t π ) .

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 3(sin t t cos t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.20. а)

y2 = 4x , x2 = 4 y ;

 

 

б) r =

5

sin ϕ,

r =

3

sin ϕ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2 cos t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

 

y = 4 (y 4).

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 4 2 sin t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

157

4.21. а)

y2 = x3 ,

x = 2 ;

 

 

б) r = 6 sin ϕ, r = 4 sin ϕ ;

 

 

 

 

 

 

3

t ,

x =12

3

(x 12

3).

 

в) x = 32 cos

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 3sin

t

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.22. а)

y = x2 ,

y = 2 x2 ;

 

б) r =1 +

2 sin ϕ ;

 

x = 4(t sin t),

y

= 6 (0 < x < 8π , y 6).

в)

 

 

 

 

 

 

 

y = 4(1 cos t),

 

 

 

 

 

 

 

4.23. а)

y2 = 4 x2 ,

 

x = 0 ;

 

б)

r = 2 cosϕ,

r = 3cosϕ ;

 

x = 9 cos t ,

y = 2 (y

2).

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 4 sin t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

4.24. а)

y = cos

5

x sin 2x ,

 

 

 

 

π

 

б) r = 3sin 4ϕ ;

 

y = 0 0 x

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 8(t

sin t),

y =12 (0 < x <16π , y 12).

в)

 

cos t),

 

y = 8(1

 

 

 

 

 

 

 

4.25. а)

y = x3 ,

y =1, x = 0 ;

 

б)

r = cosϕ +sin ϕ ;

 

 

 

 

 

 

3

t ,

x = 9

3

(x 9 3).

 

в) x = 24 cos

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2 sin

 

t

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.26. а)

yx = 6 , x + y 7 = 0 ;

б) r = 4 sin 3ϕ,

r = 2 (r 2);

 

x = 3cos t ,

y = 4 3

(y 4 3).

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 8sin t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

4.27. а)

y = 2x ,

y = 2x x2 ,

x = 0 ,

x = 2 ;

б)

r = 2 cos 6ϕ ;

 

x = 2(t sin t),

y

= 2 (0 < x < 4π , y 2) .

в)

 

 

 

 

 

 

 

y = 2(1 cos t),

 

 

 

 

 

 

 

158

4.28. а)

x2 = 4 y ,

y =

 

 

8

 

;

 

б)

r = cosϕ sin ϕ ;

 

x2 + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 cos

3

t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 4

 

x

= 2

(x 2).

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

2 sin

t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.29. а)

y = x +1,

 

y = cos x ,

 

y = 0 ;

б)

r =

1

+ sin ϕ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2 cos t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 2

y

= 5

(y 5).

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 sin t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 5

 

 

 

 

 

 

 

 

4.30. а)

y = sin x cos

2

x , y =

 

0 x

π

б) r = 2 sin 5ϕ ;

 

0

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) x = 2 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = 2 sin

t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури Ф, обмеженої вказаними лініями, навколо вказаної осі координат.

5.1.Ф: y2 = 4 x , x = 0 , Oy .

5.2.Ф: x + y = 2 , x = 0 , y = 0 , Ox .

5.3.

Ф:

x2

+

y2

=1, Oy .

 

 

 

 

 

9

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.4.

Ф:

y3

= x2 ,

 

y =1, Ox .

 

 

 

 

 

5.5.

Ф: x = 6(t sin t),

y = 6(1 cos t) (0 t 2π), Ox .

5.6.

Ф:

x = 3cos

2

t , y

= 4sin

2

t

 

t

π

 

 

0

, Oy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5.7.

Ф:

y2

= x ,

x2 = y , Ox .

 

 

 

 

 

159

5.8. Ф: y2 = (x 1)3 , x = 2 , Ox .

5.9. Ф: x = 1y2 , y =

3

x , y = 0 , Ox .

2

 

 

5.10.Ф: y = sin x , y = 0 (0 x π ), Ox .

5.11.Ф: y2 = 4x , x2 = 4 y , Ox .

5.12. Ф: x = 2 cos t , y = 5sin t , Oy .

5.13.Ф: y = x2 , 8x = y2 , Oy .

5.14.Ф: y = ex , x = 0 , y = 0 , x =1 , Ox .

5.15.Ф: y2 = 43x , x = 3 , Ox .

5.16.Ф: y = 2x x2 , y = 0 , Ox .

5.17.Ф: r = 2(1+cosϕ), полярна вісь.

5.18. Ф: x = 7 cos3 t , y = 7 sin3 t , Oy .

5.19.Ф: x2 + y2 =1, Ox . 16

5.20.Ф: x3 = (y 1)2 , x = 0 , y = 0 , Ox .

5.21.Ф: xy = 4 , 2x + y 6 = 0 , Ox .

5.22. Ф: x = 3 cos t , y = 2 sin t , Oy .

5.23.Ф: y = 2 x2 , y = x2 , Ox .

5.24.Ф: y = −x2 +8 , y = x2 , Ox .

5.25.Ф: y2 = (x +4)3 , x = 0 , Ox .

5.26.Ф: y = x3 , x = 0 , y = 8 , Oy .

160

 

 

 

 

5.27. Ф: x = cos3 t ,

y = sin3 t , Ox .

5.28. Ф:

2 y = x2 , 2x + 2 y 3 = 0 , Ox .

5.29. Ф:

y = x x2 ,

y = 0 , Ox .

5.30. Ф:

y = 2

x2

, x + y = 2 , Oy .

2

 

 

 

 

 

Задача 6. Обчислити довжину дуг даних ліній.

6.1. а)

y = ln x ,

 

3 x

15 ;

б) r = 3e

3ϕ

 

π

ϕ

π

 

;

 

4

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

x = 5(t sin t),

 

0

t

π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

= 5(1

cos t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.2. а)

y =

 

x2

 

ln x

, 1

x 2 ;

б) r =

2e

ϕ

,

π

ϕ

π

;

4

2

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 2(cos t +t sin t),

0

t π .

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

= 2(sin t t cos t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.3. а)

y =

 

1 x2 + arcsin x ,

0 x 7

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) r = sin 3 ϕ3 , 0 ϕ π2 ;

x = 3(2 cos t cos 2t),

0 t 2π .

в)

y = 3(2 sin t sin 2t),

 

6.4. а) y = ln

 

5

,

 

3 x 8 ;

б) r = 2e

4ϕ

 

 

3

 

2x

 

 

 

 

 

 

2

2)sin t + 2t cos t ,

0 t π

в) x = (t

 

 

 

 

 

2

 

 

 

y = (2 t

)cos t + 2t sin t ,

 

 

 

 

 

, π2 ϕ π2 ;

.