
Гургула, Мойсишин "Розрахи з матана",
.pdf
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∞ |
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x3dx |
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3.3. |
а) |
∫ |
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; |
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|
0 |
|
16x4 +1 |
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|
∞ |
|
xdx |
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3.4. |
а) |
∫ |
|
; |
|
|
|
1 |
|
16x4 −1 |
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|
0 |
|
xdx |
|
3.5. |
а) |
∫ |
|
; |
|
|
|
−∞ |
(x2 + 4)3 |
||
|
|
∞ |
|
x2 dx |
|
3.6. |
а) |
∫ |
|
; |
|
|
|
0 |
3 |
(x3 +8)4 |
|
|
|
∞ |
|
xdx |
|
3.7. |
а) |
∫ |
|
; |
|
|
|
0 |
4 |
(16 + x2 )5 |
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|
∞ |
|
xdx |
|
3.8. |
а) |
∫ |
|
; |
|
|
|
4 |
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x2 −4x +1 |
∞dx
3.9.а) −∫1π(x2 +4x +5);
∞xdx
3.10.а) −∫1 x2 + 4x +5 ;
∞arctg2x
3.11.а) ∫ ( )dx ;
π1+ 4x2
0 |
|
|
|||
∞ |
16dx |
||||
3.12. а) ∫1 |
|||||
|
; |
||||
π(4x2 + 4x +5) |
|||||
|
2 |
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151
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1 |
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3+ |
1 |
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|||||
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∫3 |
e |
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||||||||||||
б) |
|
|
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|
x |
dx . |
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|||||||||||||
|
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|
x |
2 |
|
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|
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||||||||||||||
|
0 |
|
|
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|
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|||||||
|
3 |
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|
dx |
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||||||
б) |
∫ |
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. |
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||||||||
|
1 |
3 (3 − x)5 |
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||||||||||||||||||
б) ∫1 |
ln(3x −1) |
dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
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|
1 |
|
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|
3x −1 |
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|
|||||||
|
|
|
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|
3 |
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
||
б) |
|
∫1 |
|
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|
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|
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|
|
dx |
|
|
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|
|
|
. |
|
|
||||||
|
20x |
2 |
−9x +1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
4 |
|
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|
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|
|||
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|
1 |
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|
|
|
|
|
|
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|
ln 2 dx |
|
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|
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|
|||||||
б) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
(1 − x)ln |
2 |
|
(1 |
− x) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
ln(2 |
−3x) |
|
|
|
||||||||||||
|
б) |
3 |
|
3 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
2 − |
3x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
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|
||||
|
|
|
|
б) |
∫ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
∫6 |
6 |
|
|
|
|
cos 3x |
|
5 dx . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
(1 −sin 3x) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2xdx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
б) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1− x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
∫0 |
3 |
|
dx . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
1 +3x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

152
3.13.а)
3.14.а)
3.15.а)
3.16.а)
3.17.а)
3.18.а)
∞ |
|
xdx |
|
||
∫ |
|
; |
|||
4x2 + 4x +5 |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
∞ |
(x + 2)dx |
|
|||
∫ |
; |
||||
0 |
|
3 (x2 +4x +1)4 |
|||
∞ |
3 − x2 |
|
|||
∫ |
|
dx ; |
|
||
x2 + 4 |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
arctg22 x dx ; |
|||
∫ |
|||||
0 |
|
π |
1+ 4x |
|
|
|
|
|
|
|
∞ 4dx
∫1 x(1+ln2 x);
∞
∫xsin xdx ;
0
|
|
б) ∫1 |
5 |
|
|
dx . |
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 − 4x |
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
tgx |
|
|
|
||
|
|
|
б) ∫ |
e |
|
|
dx . |
|
||||||
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
1 |
|
1− |
2 |
arcsin x |
|
|
|
||||||
|
2e |
|
π |
|
|
|
|
|
||||||
б) |
∫ |
|
|
dx . |
|
|||||||||
|
0 |
π |
1− x2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
∫ |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 5 4x |
− x2 −4 |
|
||
б) |
π∫7sin xdx2 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
π |
cos x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
∫0 |
|
dx . |
|
|
|
|
|||||||
|
− |
3 |
4x + 3 |
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
7dx |
|
|
|
|
2 |
|
|
xdx |
|
|
||||
3.19. а) |
|
∫ |
|
|
|
; |
|
|
|
б) ∫ |
|
|
3 . |
|
||||
|
|
2 |
−4x)ln 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
−∞ (x |
|
|
|
|
|
1 |
(x2 −1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
πdx |
|
|
|
|
|
3 |
|
dx |
|||||
3.20. а) ∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫0 |
|
||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
. |
|||||||||||
(1 + 9x2 )arctg 2 3x |
|
9x2 |
−9x + 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
б) ∫2 3sin 3 xdx . |
||||||||
3.21. а) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||
|
2 |
(4 + x2 ) πarctg |
x |
|
|
|
0 |
|
cos x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|

153
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
9xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.22. а) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
2 |
+ |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 9 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x4 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.23. а) |
∫e−3x xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 1− x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
2 |
dx |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.24. а) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
∫ |
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
3 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 − x6 |
|||||||||||||||||||
|
−∞ x |
|
|
1 1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|||||||||||||
3.25. а) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
б) |
|
|
∫9 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2x |
2 |
−2x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 − 2x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.26. а) ∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31(x3 −1). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x2 (x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫2 |
|
|
dx 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
3.27. а) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
б) |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
e2 x(ln x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3x − x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
10xdx . |
|
|||||||||||||||
3.28. а) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
б) |
|
∫ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
6x |
|
−5x +1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
4 (16 − x2 )3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∫4 |
|
dx . |
|
|
|
|||||||||||||||||
3.29. а) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
9x |
2 |
−9x + |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 − 4x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.30. а) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
|
|
x |
|
|
−3x + 2 |
|
|
|
|
0 (2x −1) |
|
|
|
|
|
|

154
Задача 4. Обчислити площу фігур, обмежених вказаними лініями.
4.1. а) |
y = (x − 2)3 , |
|
y = 4x −8 ; |
б) |
r = 3 |
cos 2ϕ ; |
||||||||||||
|
|
= 4 |
|
2 cos |
3 |
t , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
x = 2 |
(x ≥ 2). |
|
|
||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 |
|
2 sin |
t , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4.2. а) |
y = x2 , |
y = 3 − x ; |
б) |
r = 4 cos 3ϕ, |
|
r = 2 (r ≥ 2); |
||||||||||||
|
|
= 2 cos t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
y = 2 (y ≥ 2). |
|
|
||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= 2 |
|
2 sin t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4.3. а) |
y = |
x , |
|
y = x3 ; |
|
|
б) |
r = 6 sin 3ϕ, |
r = 3 (r ≥ 3); |
|||||||||
|
|
=16 cos |
3 |
t |
, |
|
x = 2 (x ≥ 2). |
|
|
|
||||||||
в) x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 sin |
|
t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.4. а) |
y = 4 − x2 , |
|
|
y = x2 − 2x ; |
б) r = cosϕ, r = 2 cosϕ ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) x = 7 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 7 sin |
t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.5. а) |
y = (x +1)2 , y 2 |
= x +1; |
б) |
r = 4cos3ϕ ; |
||||||||||||||
|
x |
= 2 cos t |
, |
|
y |
= 3 (y ≥ 3). |
|
|
|
|||||||||
в) |
= 6 sin t , |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.6. а) |
y = arccos x , |
y = 0 , |
x = 0 ; |
б) |
r = 3cos 2ϕ ; |
|||||||||||||
|
x |
= 2(t −sin t), |
|
y = 3 |
(0 < x < 4π , y ≥ 3). |
|||||||||||||
в) |
= 2(1 − cos t), |
|||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4.7. а) |
y = 2x − x2 |
|
+ 3, |
|
y = x2 |
− 4x + 3 ; |
б) r = 2(1−cosϕ); |
|||||||||||
|
|
=16 cos |
3 |
t |
, |
|
x = 6 |
3 |
(x ≥ 6 |
3). |
|
|||||||
в) x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = sin |
t |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
155 |
4.8. а) |
y = x |
9 − x2 |
, |
y = 0 |
|
(0 ≤ x ≤ 3) ; |
б) r 2 = 2 sin 2ϕ ; |
||||
x = 6 cos t , |
y = 3 |
(y ≥ 3). |
|
||||||||
в) |
|
|
|
||||||||
y = 2 sin t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.9. а) |
y = xarctg x , |
y = 0 , |
|
x = |
3 ; |
б) r = sin 6ϕ ; |
|||||
в) |
x = 4(t −sin t), |
y |
|
= 0 (0 ≤ t ≤ 2π ) . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y = 4(1 −cos t), |
|
|
|
|
|
|||||
4.10. а) y = |
x |
, |
y = 0 , |
|
x =1; |
б) r = 2(1+cosϕ); |
|||||
|
1 |
+ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
2 cos |
3 |
t , |
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
|
x = 4 (x ≥ 4). |
|
||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
2 sin |
t , |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
4.11. а) y = 4 − x2 , y =
в) x = 2 2 cos t ,
y = 3 2 sin t ,
0 , x = 0 , x =1; б) r = 2sin 3ϕ ;
y = 3 (y ≥ 3).
4.12. а) y = |
ex −1 , |
y = 0 , x = ln 2 ; |
|
|
б) |
r = 2 +cosϕ ; |
||||||||||
|
x |
= 6(t −sin t), |
y = 9 |
(0 < x |
<12π , y ≥ 9). |
|||||||||||
в) |
= 6(1 − cos t), |
|||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.13. а) |
y = |
1 |
|
, |
|
y = |
x2 |
; |
б) r =1 + |
2 cosϕ ; |
||||||
1+ x2 |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= 32 cos |
3 |
t , |
x = 4 (x ≥ 4). |
|
|
|
|
|
|
|||||
в) x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = sin |
t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.14. а) |
y2 = x +1, |
y |
2 = 9 − x ; |
б) r = |
|
3 |
cosϕ, r = |
5 |
cosϕ ; |
|||||||
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|

156
|
x = |
3cos t , |
y = 4 (y ≥ 4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y = 8sin t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.15. а) |
y2 = x3 , x = 0 , |
y = 4 ; |
|
б) |
r = sin ϕ, |
r = 2 sin ϕ ; |
||||||||||||||||
|
x = |
6(t −sin t), |
|
y = 6 |
(0 < x <12π , y ≥ 6). |
|||||||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y = 6(1 −cos t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.16. а) |
y = x2 8 − x2 , |
y = 0 |
(0 ≤ x ≤ 2 |
|
|
2 ); б) r = 4sin 2 ϕ ; |
||||||||||||||||
|
|
8 cos |
3 |
t |
, |
x = 3 |
3 |
(x ≥ 3 |
3). |
|
|
|
|
|||||||||
в) x = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4 sin |
t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.17. а) |
y = (x −1)2 , |
y2 |
= x −1 ; |
|
б) |
r = 4 cos 4ϕ ; |
||||||||||||||||
|
x = 3cos t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 sin t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.18. а) |
y2 = 9x , y = 3x ; |
|
|
|
б) r = |
|
1 |
+ cosϕ ; |
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x = |
10(t −sin t), |
|
y |
=15 (0 < x < 20π , y ≥15). |
|||||||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y =10(1 − cos t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.19. а) |
y = x |
2 |
cos x , |
y |
= |
|
|
|
|
π |
|
; |
|
б) r |
2 |
= 9 sin 4ϕ ; |
||||||
|
0 0 ≤ x ≤ |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x = |
3(cos t + t sin t), |
y |
= 0 (0 ≤ t ≤ π ) . |
|
|
|
|||||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y = 3(sin t −t cos t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4.20. а) |
y2 = 4x , x2 = 4 y ; |
|
|
б) r = |
5 |
sin ϕ, |
r = |
3 |
sin ϕ ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
2 cos t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x = |
|
|
y = 4 (y ≥ 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4 2 sin t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
157 |
4.21. а) |
y2 = x3 , |
x = 2 ; |
|
|
б) r = 6 sin ϕ, r = 4 sin ϕ ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
t , |
x =12 |
3 |
(x ≥12 |
3). |
|
||
в) x = 32 cos |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 3sin |
t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.22. а) |
y = x2 , |
y = 2 − x2 ; |
|
б) r =1 + |
2 sin ϕ ; |
|||||||||
|
x = 4(t −sin t), |
y |
= 6 (0 < x < 8π , y ≥ 6). |
|||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y = 4(1 − cos t), |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.23. а) |
y2 = 4 − x2 , |
|
x = 0 ; |
|
б) |
r = 2 cosϕ, |
r = 3cosϕ ; |
|||||||
|
x = 9 cos t , |
y = 2 (y |
≥ 2). |
|
|
|
||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y = 4 sin t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.24. а) |
y = cos |
5 |
x sin 2x , |
|
|
|
|
π |
|
б) r = 3sin 4ϕ ; |
||||
|
y = 0 0 ≤ x ≤ |
2 |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 8(t |
−sin t), |
y =12 (0 < x <16π , y ≥12). |
|||||||||||
в) |
|
− cos t), |
||||||||||||
|
y = 8(1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.25. а) |
y = x3 , |
y =1, x = 0 ; |
|
б) |
r = cosϕ +sin ϕ ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
t , |
x = 9 |
3 |
(x ≥ 9 3). |
|
|||
в) x = 24 cos |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2 sin |
|
t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.26. а) |
yx = 6 , x + y −7 = 0 ; |
б) r = 4 sin 3ϕ, |
r = 2 (r ≥ 2); |
|||||||||||
|
x = 3cos t , |
y = 4 3 |
(y ≥ 4 3). |
|
|
|||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y = 8sin t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.27. а) |
y = 2x , |
y = 2x − x2 , |
x = 0 , |
x = 2 ; |
б) |
r = 2 cos 6ϕ ; |
||||||||
|
x = 2(t −sin t), |
y |
= 2 (0 < x < 4π , y ≥ 2) . |
|||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y = 2(1 −cos t), |
|
|
|
|
|
|
|

158
4.28. а) |
x2 = 4 y , |
y = |
|
|
8 |
|
; |
|
б) |
r = cosϕ −sin ϕ ; |
|||||||
|
x2 + 4 |
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2 cos |
3 |
t , |
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x = 4 |
|
x |
= 2 |
(x ≥ 2). |
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в) |
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3 |
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y = |
2 sin |
t , |
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4.29. а) |
y = x +1, |
|
y = cos x , |
|
y = 0 ; |
б) |
r = |
1 |
+ sin ϕ ; |
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2 |
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|
2 cos t , |
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|
x = 2 |
y |
= 5 |
(y ≥ 5). |
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в) |
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||||||
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|
2 sin t , |
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|
y = 5 |
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4.30. а) |
y = sin x cos |
2 |
x , y = |
|
0 ≤ x ≤ |
π |
б) r = 2 sin 5ϕ ; |
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|
0 |
; |
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2 |
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3 |
t , |
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в) x = 2 cos |
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3 |
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|
y = 2 sin |
t . |
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Задача 5. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури Ф, обмеженої вказаними лініями, навколо вказаної осі координат.
5.1.Ф: y2 = 4 − x , x = 0 , Oy .
5.2.Ф: x + y =
2 , x = 0 , y = 0 , Ox .
5.3. |
Ф: |
x2 |
+ |
y2 |
=1, Oy . |
|
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9 |
4 |
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|
|
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||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||
5.4. |
Ф: |
y3 |
= x2 , |
|
y =1, Ox . |
|
|
|
|
|
|||
5.5. |
Ф: x = 6(t −sin t), |
y = 6(1 −cos t) (0 ≤ t ≤ 2π), Ox . |
|||||||||||
5.6. |
Ф: |
x = 3cos |
2 |
t , y |
= 4sin |
2 |
t |
|
≤ t ≤ |
π |
|||
|
|
0 |
, Oy . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5.7. |
Ф: |
y2 |
= x , |
x2 = y , Ox . |
|
|
|
|
|

159
5.8. Ф: y2 = (x −1)3 , x = 2 , Ox .
5.9. Ф: x = 1− y2 , y = |
3 |
x , y = 0 , Ox . |
|
2 |
|||
|
|
5.10.Ф: y = sin x , y = 0 (0 ≤ x ≤π ), Ox .
5.11.Ф: y2 = 4x , x2 = 4 y , Ox .
5.12. Ф: x = 2 cos t , y = 5sin t , Oy .
5.13.Ф: y = x2 , 8x = y2 , Oy .
5.14.Ф: y = ex , x = 0 , y = 0 , x =1 , Ox .
5.15.Ф: y2 = 43x , x = 3 , Ox .
5.16.Ф: y = 2x − x2 , y = 0 , Ox .
5.17.Ф: r = 2(1+cosϕ), полярна вісь.
5.18. Ф: x = 7 cos3 t , y = 7 sin3 t , Oy .
5.19.Ф: x2 + y2 =1, Ox . 16
5.20.Ф: x3 = (y −1)2 , x = 0 , y = 0 , Ox .
5.21.Ф: xy = 4 , 2x + y −6 = 0 , Ox .
5.22. Ф: x = 3 cos t , y = 2 sin t , Oy .
5.23.Ф: y = 2 − x2 , y = x2 , Ox .
5.24.Ф: y = −x2 +8 , y = x2 , Ox .
5.25.Ф: y2 = (x +4)3 , x = 0 , Ox .
5.26.Ф: y = x3 , x = 0 , y = 8 , Oy .

160 |
|
|
|
|
5.27. Ф: x = cos3 t , |
y = sin3 t , Ox . |
|||
5.28. Ф: |
2 y = x2 , 2x + 2 y −3 = 0 , Ox . |
|||
5.29. Ф: |
y = x − x2 , |
y = 0 , Ox . |
||
5.30. Ф: |
y = 2 − |
x2 |
, x + y = 2 , Oy . |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
Задача 6. Обчислити довжину дуг даних ліній.
6.1. а) |
y = ln x , |
|
3 ≤ x ≤ |
15 ; |
б) r = 3e |
3ϕ |
|
− |
π |
≤ϕ ≤ |
π |
|
; |
||||||||||
|
4 |
, |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
x = 5(t −sin t), |
|
0 |
≤ t |
≤ π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
= 5(1 |
−cos t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6.2. а) |
y = |
|
x2 |
− |
|
ln x |
, 1 |
≤ x ≤ 2 ; |
б) r = |
2e |
ϕ |
, |
− |
π |
≤ ϕ |
≤ |
π |
; |
|||||
4 |
2 |
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x = 2(cos t +t sin t), |
0 |
≤ t ≤ π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в) |
= 2(sin t −t cos t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6.3. а) |
y = |
|
1 − x2 + arcsin x , |
0 ≤ x ≤ 7 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) r = sin 3 ϕ3 , 0 ≤ϕ ≤ π2 ;
x = 3(2 cos t −cos 2t), |
0 ≤ t ≤ 2π . |
в) |
|
y = 3(2 sin t −sin 2t), |
|
6.4. а) y = ln |
|
5 |
, |
|
3 ≤ x ≤ 8 ; |
б) r = 2e |
4ϕ |
|
|
3 |
|||||
|
2x |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
− 2)sin t + 2t cos t , |
0 ≤ t ≤ π |
|||
в) x = (t |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
y = (2 −t |
)cos t + 2t sin t , |
|
|
||||
|
|
|
, − π2 ≤ ϕ ≤ π2 ;
.