Начертательная геометрия

Полученное изображение – проекция . Плоскость, на которую падают проецирующие лучи – плоскость проекций.

Т.о. аппарат проецирования включает в себя:

1.4. Виды проецирования

Центральное (рис. 1.5) – проецирование объекта из данного центра S на плоскость проекций Пi.

Параллельное – проецирование, когда центр проецирования S становится несобственным. Поэтому обычно вместо несобственного центра проецирования S говорят о направлении проецирования s (рис. 1.6 и 1.7).

Параллельное проецирование может быть косоугольным (рис. 1.6): s Пi и

прямоугольным (рис. 1.7): s Пi , где s - направление проецирования.

Центральное проецирование в геометрическом отношении совпадает с процессом зрительного восприятия предмета, с процессом получения фотографии предмета. Но в этом случае размеры оригинала искажаются при его изображении на плоскости (рис. 1.5). Размеры проекций предметов, одинаковых по величине, будут зависеть от расстояния этих предметов от центра проекций (чем ближе, тем больше изображение). Центральные проекции широко применяются в архитектуре, ст роительстве, изобразительном искусстве.

В технике для изготовления предметов по их изображениям на плоскости необходимо, чтобы их проекции (с учетом масштаба) без искажения передавали размеры и форму предмета (рис. 1.7). Поэтому в технике целесообразно применять параллельное прямоугольное проецирование, при котором величина изображения предмета не зависит от расстояния его от центра проекций.

Вывод: Прямоугольное проецирование наиболее распространено в конструкторской практике, т.к. оно является простым с точки зрения графических построений и обеспечивает точное соотношение размеров изображения на плоскости.

1.5.Обратимость изображений объектов пространства

Втехнике любое изображение предмета на плоскости должно быть обратимым, т.е.

однозначно определять его в пространстве. Анализируя изображение на плоскости Пi (рис. 1.8), приходим к выводу, что нельзя представить форму объекта в пространстве.

По проекции Аi (рис. 1.9) также невозможно определить положение точки в пространстве (нет высоты).

Т.о. изображения, приведенные на плоскости Пi рис. 1.8 и 1.9 – необратимые.

Тема 1

10

Вращением вокруг оси Ох плоскость П1 совместим с плоскостью П2 (рис.1.12). При этом проекции А2 и А1 точки А расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций (рис.1.13) – на линии связи. В результате указанного совмещения плоскостей П2 и П1 получается чертеж, известный под названием эпюр Монжа или двухкартинный чертеж, включающий две взаимосвязанные проекции - "картины". Это чертеж в системе П1, П2 или в системе двух прямоугольных проекций.

Условимся в дальнейшем двухкартинный чертеж, а также чертеж, в основе которого лежит метод Монжа, называть одним словом - чертеж и понимать это только в указанном смысле. В других случаях применения слова “чертеж” оно будет сопровождаться соответствующим определением (перспективный чертеж, аксонометрический чертеж и т.п.)

В зависимости от расположения точки в той или иной четверти пространства её горизонтальная и фронтальная проекции могут занимать различное положение относительно оси х. Например, для точки, находящейся во II четверти пространства, обе проекции её (горизонтальная и фронтальная) расположатся над осью х.

Известно, что чертежи сложных конструкций содержат не два, а большее число изображений – проекций. Рассмотрим введение в систему П1, П2 еще одной плоскости проекций, перпендикулярной П1 и П2 (рис.1.14):

О = x y z.

Опустим перпендикуляр на пл. П3 (рис.1.15) из точки А и получим:

A3 – профильную проекцию точки А.

На рис. 1.16 показана схема совмещения пл. П1 и П3 с пл.П2 в одну плоскость чертежа, а на рис.1.17 – построение 3-х проекций т.А, приведенной на рис.1.15. Это чертеж в системе трех плоскостей проекций или трехкартинный чертеж точки А.

Расстояние от точки А (рис.1.15) до пл.П1 измеряется на чертеже отрезком А2АX или А3АY или АZO, которые равны и параллельны между собой – Z (высота);

до пл.П2: А1АX или А3АZ или АYО – Y (глубина или толщина); до пл.П3: А1АY или А2АZ или АXО – Х (ширина).

Выводы:

–Каждая точка пространства характеризуется тремя координатами: А(х, у, z).

–Каждая проекция точки на чертеже – двумя координатами: А1(х, у); А2(х, z);

А3(у, z).

– Две проекции точки однозначно определяют ее положение в пространстве.

1.7. Образование аксонометрического чертежа точки

Однокартинный чертеж, обладающий свойствами наглядности и обратимости, называется аксонометрическим.

При построении аксонометрических проекций предмет жестко связывают с пространственной системой трех взаимноперпендикулярных координатных осей (например, с декартовой системой координат) и проецируют параллельно на одну плоскость - плоскость аксонометрических проекций (рис.1.18).

13

Направление проецирования может составлять с плоскостью аксонометрических проекций некоторый острый или прямой угол. Для обеспечения наглядности изображений направление проецирования не следует брать параллельным ни одной из координатных плоскостей проекций. Если s Пa, то полученная аксонометрия будет прямоугольной; если проецирующие лучи образуют с Пa угол, отличный от 90 , то - косоугольной. На рис.1.19 показана схема образования аксонометрической проекции точки А - Аa. Точка А (x, y, z), жестко связанная с системой координат xyz, проецируется в заданном направлении s на плоскость Па. На осях х, у, z отложен некоторый отрезок еx = еy = еz = е – натуральная единица.

коэффициенты искажения по осям х, у, z, можно построить акcонометрическое изображение любой точки, связанной с системой хуz.

На практике пользуются преимущественно аксонометрическими проекциями, которые кроме наглядности изображения обеспечивают простоту построений, при этом отпадает необходимость сложных вычислений размеров по координатным осям. Для таких проекций стандартизированы углы между аксонометрическими осями, коэффициенты (показатели) искажений и т.д.

Рис. 1.20 – прямоугольная изометрическая проекция: кx = кy = кz 1. Рис. 1.21 – прямоугольная диметрическая проекция: кx = кz 1; кy 0,5.

Тема 1

14

1.10.Запишите условие принадлежности точки А, связав его с координатами этой точки: горизонтальной плоскости проекций … ; фронтальной ….; профильной …. .

1.11.Запишите условие принадлежности точки А, связав его с координатами этой точки:

оси 0x – ; 0y – ; Oz – .

1.12. Постройте на трехкартинном чертеже три проекции точек А, В, С, запишите их координаты и заполните таблицу.

П1

П2

П3

x, y, z

А1

А2

А3

А1А 2

А1А 3

1.13.На наглядном изображении построить проекции А2, С1 и D2 точек А, С, D и выполнить двухкартинный чертеж этих точек.

B2Bx x, BxB1y.

Точка B находится во II четверти пространства.

Тема 1

16

A1

A1

1.18.Какой из плоскостей проекций – П1, П2, П3 – принадлежит точка A, координаты которой 20, 30, 0? . . .

1.19.От какой из плоскостей проекций – П1, П2, П3 – точка A (30, 40, 50) находится дальше . . . , ближе . . . ?

1.20.Укажите положение в пространстве точки A с координатами 20, 0, 0 . . . .

Тема 1

17

1.21. Построить три проекции точек по их координатам:

А(25, 20,30), В(30,40,40), С(15,15,15), D(20,0,45), E(0,35,25), F(40,30,0). Заполнить таблицу.

z

1.10. Какая из точек (а, б, в) лежит в горизонтальной плоскости проекций?

а) А (10, 15, 0) б) B (15, 0, 20) в) C (10, 15, 20)

Тема 1

18

Образовательный модуль 2

Формирование геометрических образов в пространстве и отображение их определителей на чертежах

Цель: Изображение основных геометрических образов (линия, поверхность) и их элементов на многокартинном и аксонометрическом чертежах.

Задачи: – Знать процесс образования линии, поверхности.

–Уметь определять положение основных геометрических образов в пространстве и строить их проекции.

–На чертеже строить проекции точек, принадлежащих линии или поверхности и проекции линий на поверхности.

Тема 2.

Образование линии в пространстве и задание ее на чертеже

Линии повсеместно встречаются в окружающем нас мире. Это траектории движущихся объектов, очертания инженерных конструкций и деталей машины, результат пересечения поверхностей, графическое выражение различных функциональных зависимостей, характеризующих изучаемые процессы и явления и др. Кривые линии применяются при конструировании форм различных поверхностей, в теории машин и механизмов, в моделировании, при построении диаграмм состояния многокомпонентных систем и т.д.

Линию следует рассматривать как множество последовательных положений точки, перемещающейся в пространстве. Линии могут быть плоскими и простран-

ственными.

Простейшей линией является прямая.

2.1.Прямая

Прямая линия получается при прямолинейном движении точки без изменения направления движения. Совокупность элементов, задающих прямую в пространстве, называется определителем прямой. Определитель геометрического образа указывается в круглых скобках. Прямую в пространстве можно задать (рис.2.1):

Рис. 2.1

Согласно одному из свойств прямоугольного проецирования (прямая проецируется в прямую) для определения проекции прямой достаточно знать проекции двух не тождественных точек, принадлежащих прямой (рис.2.2).

Тема 2

19