- •Институт кибернетики, информатики и связи методические рекомендации по выполнению срс по дисциплинам «элементы высшей математики» и «математика» для специальностей
- •Содержание
- •Введение
- •Общие требования к оформлению и выполнению самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №1
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №2
- •Теоретические сведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №3
- •Теоретические сведения
- •Линейные операции над векторами.
- •Скалярное произведение векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №4
- •Теоретические сведения
- •Окружность
- •Гипербола
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №5
- •Теоретические сведения
- •Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №7
- •Теоретические сведения
- •Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода)
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Самостоятельная работа №8
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №9
- •Теоретические сведения
- •Объем тела
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №10
- •Теоретические сведения
- •Дифференциальные уравнения второго порядка Уравнения допускающие понижение порядка
- •Возможны три случая
- •Задания для самостоятельного решения
- •Самостоятельная работа №11
- •Теоретические сведения
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Самостоятельная работа №12
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Список рекомендуемой литературы
Дифференциальные уравнения второго порядка Уравнения допускающие понижение порядка
1. Уравнение вида
Это уравнение не содержит в явном виде искомой функции у(х). Сделаем замену Тогда
2. Уравнение вида
Это уравнение не содержит в явном виде аргумент х, поэтому для его решения предлагается замена т.е.z является функцией от у, а не от х.
Тогда
Итак,
Пример 6. Решить уравнение
Решение:
1)
линейное однородное уравнение первого порядка, решение которого
2) уравнение с разделяющимися переменными.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядканазывается уравнение вида
для нахождения линейно независимых решений иуравнениянадо записать по линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка характеристическое уравнение:
и решить его, т.е. найти корни и.
Возможны три случая
1. Корни ихарактеристического уравнения вещественные и различные,т.е.тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
2. Корни ихарактеристического уравнения вещественные и равные друг другут.е.тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
3. Корни ихарактеристического уравнения комплексно–сопряжённыет.е.гдетогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Пример 7. Решить уравнение:
Решение:
Составим и решим характеристическое уравнение:
Мы получили действительные и различные корни, следовательно, общее решение данного уравнения находим по формуле:
Получим:
Задания для самостоятельного решения
1.Решить уравнение:
а)
б)
2.Найдите частное решение данного уравнения
а)
б)
3. Решить уравнение:
а)
б)
в)
г)
д)
4. Решить уравнение:
1)
2)
3)
5. Найдите частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям
6. Решить уравнение:
1)
2)
3)
4)
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 2.2.
Самостоятельная работа №11
Тема: «Разложение функций в степенные ряды»
Цель: Закрепление умения использования формул Тейлора и Маклорена для разложения функций в степенные ряды.
Время выполнения: 6 часов
Теоретические сведения
Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , соединенных знаком сложения:
Числа называютсячленами ряда, а член -общим или n-м членом ряда.
Среди рядов особое место занимают степенные ряды, членами которых являются степенные функции аргумента х:
Действительные числаназываются коэффициентами ряда,х – действительная переменная.
Рассмотренный степенной ряд расположен по степеням х.
Имеют место ряды, расположенные по степеням , т.е. ряд вида
,
где - некоторое постоянное число.
Для приложений важно уметь данную функцию f(x) разлагать в степенной ряд, т. е. функцию f(x) представлять в виде суммы степенного ряда.
Для любой функции f(x), определённой в окрестности точки и имеющей в ней производные до(n+1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:
где ,- остаточный член в форме Лагранжа.
Число с можно записать в виде , где.
Без остаточного члена имеем – многочлен Тейлора:
.
Если функция f(x) имеет производные любых порядков (т. е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки и остаточный членстремится к нулю при, то из формулы Тейлора получается разложение функцииf(x) по степеням , называемое рядом Тейлора:
.
Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степенямx в так называемый ряд Маклорена:
.
Формально ряд Тейлора можно построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции f(x); он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функцииf(x).
Пример1. Разложить многочлен
в ряд Тейлора при
Решение:
Найдём производные данного многочлена:
В точке имеем:
По формуле
получаем:
Пример 2. Записать формулу Тейлора и выражение остаточного члена для
при n = 4 и
Решение:
Формула Тейлора имеет вид:
где
Найдём производные функциив точке
Искомая формула имеет вид:
где и, т.е.
.
Для того чтобы ряд Тейлора функции f(x)
сходился к f(x) в точке x, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при , т. е..