![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Институт кибернетики, информатики и связи методические рекомендации по выполнению срс по дисциплинам «элементы высшей математики» и «математика» для специальностей
- •Содержание
- •Введение
- •Общие требования к оформлению и выполнению самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №1
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №2
- •Теоретические сведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №3
- •Теоретические сведения
- •Линейные операции над векторами.
- •Скалярное произведение векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №4
- •Теоретические сведения
- •Окружность
- •Гипербола
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №5
- •Теоретические сведения
- •Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №7
- •Теоретические сведения
- •Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода)
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Самостоятельная работа №8
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №9
- •Теоретические сведения
- •Объем тела
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №10
- •Теоретические сведения
- •Дифференциальные уравнения второго порядка Уравнения допускающие понижение порядка
- •Возможны три случая
- •Задания для самостоятельного решения
- •Самостоятельная работа №11
- •Теоретические сведения
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Самостоятельная работа №12
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Список рекомендуемой литературы
Задание для самостоятельной работы
Написать сообщение на тему «Физические приложения производной и дифференциала функции».
Рекомендуемая литература: 1.1, 2.1, 2.4.
Самостоятельная работа №7
Тема: «Несобственные интегралы»
Цель: Формирование умения вычислять несобственные интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Время выполнения: 6 часов
Теоретические сведения
При рассмотрении
определённых интегралов мы предполагали,
что область интегрирования ограничена
(более конкретно, является отрезком
[a,b]);
для существования определённого
интеграла
необходима ограниченность подынтегральной
функции на [a,b].
Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия собственными; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограниченна либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными.
Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода)
Пусть функция f(x)
определена на полуоси
и
интегрируема по любому отрезку [a,b],
принадлежащему этой полуоси. Предел
интеграла
при
называется
несобственным интегралом функцииf(x)
от a
до
и
обозначается
.
Итак, по определению,
.
Если этот предел существует и конечен,
интеграл
называется
сходящимся; если предел не существует
или бесконечен, интеграл называется
расходящимся.
Пример 1.
;
этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.
Пример 2
;
следовательно, интеграл сходится и
равен
.
Аналогично интегралу
с бесконечным верхним пределом
интегрирования определяется интеграл
в пределах от
доb
:
и
в пределах от
до
:
.
В последнем случаеf(x)
определена на всей числовой оси,
интегрируема по любому отрезку; c
- произвольная (собственная) точка
числовой оси; интеграл называется
сходящимся, если существуют и конечны
оба входящих в определение предела.
Существование конечных пределов и их
сумма не зависят от выбора точки c.
Пример 3.
.
Интеграл сходится.
Пример 4.
следовательно,
интеграл сходится и равен
.
Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла.
Символом
будем
обозначать
;
символом
-
соответственно,
;
тогда можно записать
,
,
,
подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов.
Теперь решения
примеров выглядят более просто:
-
интеграл сходится;
-
интеграл расходится.
Для несобственных
интегралов применимы формулы интегрирования
по частям и замены переменной:
;
при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный.
Пример 5..
Пусть
,
;
если
,
то
;
если
то
;
Поэтому
(это
уже собственный интеграл) =
.
Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
Пусть функция f(x)
определена на полуинтервале (a,
b],
интегрируема по любому отрезку
,
и имеет бесконечный предел при
.
Несобственным интегралом отf(x)
по отрезку [a,
b]
называется предел
.
Если этот предел конечен, говорят, что
интеграл сходится; если предел не
существует или бесконечен, говорят, что
интеграл расходится.
Пример 6.
-
интеграл расходится;
Пример 7
-
интеграл сходится.
Применение формулы Ньютона-Лейбница.
Если для функции
f(x)
на полуинтервале (a,
b]
существует первообразная F(x),
то
,
и сходимость интеграла определяется
наличием или отсутствием конечного
предела
.
Будем писать просто
,
имея в виду, что если соответствующий
предел конечен, то интеграл сходится,
в противном случае - расходится.
Пример 8.
интеграл сходится.
Пример 9
;
интеграл расходится.