Самостоятельная работа №5

Тема: «Теория пределов»

Цель: Формирование умения доказывать основные положения и теоремы теории пределов.

Время выполнения: 2 часа

Теоретические сведения

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х=а, кроме, может быть самой точки а.

Число А называется пределом функции f(x) при стремлении х к а (или в точке а), если для любого числа существует такое числочто для всехудовлетворяющих условиюимеет место неравенство

Обозначают:

Из определения следует, что, если число А есть предел функции f(x) в точке х=а, то для всех х, достаточно близких к числу а и отличных от него соответствующие им значения функции f(x) оказываются сколь угодно близкими к числу А.

Число А называется пределом функции f(x) при стремлении х к бесконечности, если для любого числа существует такое положительное числоN, что для всех х удовлетворяющих условию имеет место неравенство

Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Бесконечно малая величина

Функция называетсябесконечно малой при если

Свойства бесконечно малой величины

1. Если функции являются бесконечно малыми, тотакже есть бесконечно малая.

2. Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую есть бесконечно малая.

3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.

4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Бесконечно большая величина

Функция f(x) называется бесконечно большой при если

Свойства бесконечно больших величин

1. Если функция f(x) бесконечно большая, то бесконечно малая.

2. Если функция бесконечно малая и не обращается в нуль, то

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной.

Теорема 2. Если функции f(x) u g(x)имеют пределы при то приимеют пределы также их суммаf(x) + g(x), произведение и при условии, что

частное

причём

Следствие 1. Если функция f(x) имеет предел при то

где n – натуральное число.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Задание для самостоятельной работы

Докажите теорему о пределе суммы двух функций.

Рекомендуемая литература: 2.2, 2.3, 2.4.

Самостоятельная работа №6

Тема: «Производная и дифференциал функции»

Цель: Формирование навыков вычисления производных и дифференциалов функции

Время выполнения: 6 часов

Теоретические сведения

Пусть функция y=f(x)определена в промежутке (a;b). Возьмём какое-нибудь значение х из (a;b). Затем возьмём новое значение аргумента из этого промежутка, придав первоначальному значениюх приращение (положительное или отрицательное).

Этому новому значению аргумента соответствует и новое значение функции

где

Теперь составим отношение

Оно является функцией от

Если существует предел отношения приращения функциик вызвавшему его приращению аргументакогдастремится к нулю, то этот предел называетсяпроизводной от функции y=f(x) в данной точке х и обозначается через y’ или f’(x) (читается «игрек штрих» или «эф штрих от икс»):

Для обозначения производной принят также и следующий символ (читается «дэ игрек по дэ икс»). Эту запись надо рассматривать пока как целый символ, а не как частное.

Действие нахождение производной называется дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.