- •Институт кибернетики, информатики и связи методические рекомендации по выполнению срс по дисциплинам «элементы высшей математики» и «математика» для специальностей
- •Содержание
- •Введение
- •Общие требования к оформлению и выполнению самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №1
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №2
- •Теоретические сведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №3
- •Теоретические сведения
- •Линейные операции над векторами.
- •Скалярное произведение векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №4
- •Теоретические сведения
- •Окружность
- •Гипербола
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №5
- •Теоретические сведения
- •Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №7
- •Теоретические сведения
- •Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода)
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Самостоятельная работа №8
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №9
- •Теоретические сведения
- •Объем тела
- •Задания для самостоятельной работы
- •Самостоятельная работа №10
- •Теоретические сведения
- •Дифференциальные уравнения второго порядка Уравнения допускающие понижение порядка
- •Возможны три случая
- •Задания для самостоятельного решения
- •Самостоятельная работа №11
- •Теоретические сведения
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Самостоятельная работа №12
- •Теоретические сведения
- •Задание для самостоятельной работы:
- •Список рекомендуемой литературы
Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена нужно:
1) Найти производные ;
2) Вычислить значения производных в точке ;
Написать ряд
для заданной функции и найти его интервал сходимости;
4) Найти интервал (-R; R), в котором остаточный член ряда Маклорена . Если такой интервал существует, то в нем функцияf(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.
Задание для самостоятельной работы:
Напишем формулу Тейлора и выражение остаточного члена для приn=4 и
Разложить по степеням х элементарные функции:
Разложить в ряд Маклорена функции:
1)
2)
3)
4)
Рекомендуемая литература: 1.1, 2.2. 2.5.
Самостоятельная работа №12
Тема: «Действия над комплексными числами»
Цель: Закрепление навыков выполнения арифметических действий над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной форме.
Время выполнения: 2 часа
Теоретические сведения
Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:
Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда
a = c и b = d.
Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
a + c + i(b + d).
Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
ac – bd + i(ad + bc). |
На комплексные числа можно смотреть как на многочлены с учётом равенства то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,
|
то есть как раз получается нужная формула.
Пример 1 Вычислить z1 + z2 и z1z2, где z1 = 1 + 2i и z2 = 2 – i.
Решение:
Имеем
Ответ. z1 + z2 = 3 + i, z1z2 = 4 + 3i.
Геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая. Любому комплексному числу z = x + iy можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс откладывается действительная часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимая часть.
Любому комплексному числу z = a + ib соответствует вектор и наоборот, каждому векторусоответствует, и притом единственное, числоz = a + ib.
Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:
Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.
Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z. Для числа z = 0 аргумент не определён.
Существует такое число z = 0, которое обладает свойством
z + 0 = z |
Для любых двух чисел z1 и z2 существует такое число z, что z1 + z = z2. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z2 – z1.
Для любого комплексного числа z:
z · 1 = z. |
Для любых двух чисел исуществует такое числоz, что Такое числоz называется частным двух комплексных чисел и обозначается Деление на 0 невозможно.
Если число z = a + bi, то число называетсякомплексно сопряжённым с числом z. Комплексно сопряжённое число обозначается Для этого числа справедливы соотношения:
|
|
|
Пример 2 Найдите число, сопряжённое к комплексному числу (1 + 2i)(3 – 4i).
Решение:
Имеем . Следовательно,
Ответ. 11 – 2i.
Пример 3 Вычислите
Решение:
Имеем
Ответ. i.
Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть и φ = argz. Тогда по определению аргумента имеем:
|
Отсюда получается
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ). |
Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.
Пример 4 Записать число в тригонометрической форме.
Решение:
Найдём модуль этого числа: Аргумент данного числа находится из системы
|
Значит, один из аргументов числа равенПолучаем:
|
Ответ.
Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2). Имеем:
|
|
Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ1, φ2, ..., φn – аргументы чисел z1, z2, ..., zn, то
|
|
В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.
Первая формула Муавра:
|
Пример 4 Вычислить если
Решение:
Данное число в тригонометрической форме имеет вид По первой формуле Муавра получаем:
|
Ответ.
Число z называется корнем степени из комплексного числаw, если Корень степениобозначается. Пусть теперь числоw фиксировано. Найдём z из уравнения
Вторая формула Муавра:
|
Пример 5 Найти
Решение:
Представим число –1 в тригонометрической форме:
|
По второй формуле Муавра получаем:
|
Получаем последовательно:
|
|
|
Ответ.