Объем тела

где - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Масса плоской фигуры

Масса плоской фигуры D с переменной плотностью находится по формуле

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам

и

Координаты центра масс фигуры

и .

Пример 2. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: х+у=2, х=0 и у=0.

Решение:

Изобразим данную область на чертеже.

Площадь плоской фигуры вычисляется по формуле Получим:

Пример 3. Найдите с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями: x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.

Решение:

Объём тела, вычисляется по формуле: ОбластьD – плоская область, которая является основанием данного тела в плоскости Оху. В данном случае она ограниченна прямыми х=0, у=0, х+у=1. Изобразим её:

z(x; y)=1-x-y.

Получим:

Задания для самостоятельной работы

1. Поменять порядок интегрирования:

1)

2)

3)

4)

2. Вычислить следующие интегралы:

1. 

2)

3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

4. Найдите с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями: z=1+x+y, x+y=1, x=0, y=0, z=0.

5. Найдите с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями: z=x+y, x+y=1, x=0, y=0, z=0.

6. Найдите координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной линиями

7. Найдите момент инерции относительно оси Ох пластинки, ограниченной прямыми у=2+х, у=2-х, у=0, если плотность постоянна и равна единице.

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 2.2.

Самостоятельная работа №10

Тема: «Решение дифференциальных уравнений»

Цель: Закрепление умения решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравнения первого порядка, решать задачу Коши, линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Время выполнения: 6 часов

Теоретические сведения

Уравнение называется дифференциальным относительно некоторой искомой функции, если оно содержит хотя бы одну производную этой функции.

Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить уравнение

Решение:

Запишем это уравнение в виде

2. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение видав котором функцииM(x;y)и N(x;y) однородные одного и того же измерения.

Однородные уравнения решаются с помощью подстановки

Пример 2. Решить уравнение если

Решение:

Пусть

Подставив y и dy в данное уравнение, получим

(уравнение с разделяющимися переменными).

Обратная замена даёт общее решение

Для нахождения частного условия воспользуемся условием

Тогда или

Пример 3. Решить уравнение

Решение:

Воспользуемся подстановкой:

Получим:

Вычислим интеграл отдельно:

Таким образом,

Обратная замена переменной даёт общее решение:

3. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение гдеp(x) и q(x) – заданные непрерывные в интервале (a;b)функции.

Общее решение данного уравнения находим по формуле:

Если q(x)=0, то данное уравнение называется линейным однородным уравнением первого порядка; в противном случае – линейным неоднородным уравнением первого порядка. Следовательно, линейное однородное уравнение первого порядка имеет вид

Формула общего решения данного уравнения имеет вид:

Пример 4. Решить уравнение

Решение:

Воспользуемся формулой

Получим:

Пример 5. Решить уравнение

Решение:

Воспользуемся формулой

В данном уравнении подставим эти функции в формулу, получим:

Вычислим интеграл отдельно:

Таким образом: