3.2. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ

ВВЕДЕНИЕ

Поведение микроскопических тел таких, как элементарные частицы, атомы, молекулы имеет существенные особенности и не подчиняется законам классической физики. Для их изучения используется раздел физики, называемый квантовой механикой.

Небывалые темпы развития современных технологий стали возможными на базе квантовой физики. Это, например, лазеры, компьютерная техника, современные средства связи, точнейшие измерительные приборы, новые технологии и т.д.

Как и классическая механика, квантовая делится на нерелятивистскую и релятивистскую части в зависимости от скорости движения микрочастиц.

Большое значение для понимания квантовой механики имеет хорошее знание таких разделов высшей математики, как дифференциальные уравнения в частных производных, теория вероятностей.

Раздел 1. Квантовая оптика. Квантовая теория излучения

Вэтом разделе изучаются две темы: 1. Законы теплового излучения;

2.Фотоэлектрический эффект. По завершении изучения раздела следует выполнить тренировочный тест № 1.

По материалам раздела выполняются задачи 501–520 из контрольной работы № 5.

1.1. Законы теплового излучения

Атомы и молекулы веществ излучают электромагнитные волны. Причиной электромагнитного излучения является ускоренное движение заряженных частиц в электрическом поле (свечение молнии, экранов телевизоров, неоновых ламп и т.д.); возбуждение атомов при химических реакциях (свечение некоторых насекомых, морских обитателей, гниющего дерева). После снятия возбуж-

20

дающего фактора электромагнитное излучение прекращается сразу или через некоторое время. Такое излучение тел называется люминесценцией.

Причиной ускоренного движения заряженных частиц может быть тепловое движение атомов, присущее веществу в любом состоянии.

Электромагнитное излучение, обусловленное возбуждением атомов или молекул тела вследствие их теплового движения, называется тепловым излучением.

Тепловое излучение совершается за счет внутренней энергии тела и наблюдается для всех тел при любой температуре, вплоть до абсолютного нуля.

Тепловое излучение имеет сплошной спектр, то есть в нём присутствуют волны с различными длинами (частотами), значения которых изменяются непрерывно. При разных температурах изменяется соотношение интенсивностей излучения различных частот. Это видно, например, при нагреве металлической болванки, когда цвет её изменяется от вишнёвого, красного до белого.

Тепловое излучение – это единственный вид излучения, который может быть равновесным. Если поместить в полость с отражающими стенками несколько тел с различными температурами и создать вакуум, то через некоторое время температуры всех тел станут одинаковыми. Между телами и электромагнитным излучением в полости устанавливается равновесие, которому соответствует определенная температура.

Это значение температуры, наряду со сплошным спектром, является важнейшей характеристикой теплового излучения.

Интенсивность теплового излучения характеризуют величиной потока энергии, т.е. энергией, излучаемой телом за 1 с

21

Поток энергии, испускаемый единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям и во всём интервале частот (длин волн), называется интегральной энергетической светимостью тела.

В разных частях спектра интенсивность излучения различна, поэтому вводят величину, которая называется спектральной плотностью излучения

Здесь dФ – поток излучения (мощность) в интервале частот от до d .

Спектральной плотностью излучения (излучательной способностью) называется мощность электромагнитного излучения с единицы поверхности тела в единичном интервале частот.

Излучательная способность тела зависит от температуры и частоты излучения. Формулу (1.3) можно представить в виде функции длины волны . Учи-

Способность тела поглощать излучение характеризуется спектральной поглощательной способностью. Она показывает, какая часть энергии излучения, падающего на единицу поверхности тела за единицу времени, поглощается и зависит от температуры и от интервала частот

22

По определению A( ,T ) не может быть больше единицы. Для тела, полностью поглощающего падающее на него излучение всех частот, A( ,T ) 1. Такое тело называется абсолютно чёрным. Если A( ,T ) 1, то тело называют серым. Абсолютно черных тел в природе не существует. Например, сажа, платиновая чернь имеют поглощательную способность близкую к единице.

Однако можно создать модель абсолютно чёрного тела. Это замкнутая полость с малым отверстием (рис. 1.2). Излучение, попавшее внутрь через отверстие, претерпевает многократные отражения от стенок полости, при этом происходит поглощение части энергии, в результате практически всё излучение поглощается. Этим

Рис. 1.2

объясняется чёрный цвет окон, замочной скважины и т.д. Избирательным поглощением излучения определенных частот объясняются цвета тел и прозрачных пластинок.

1.1.1. Закон Кирхгофа

Между излучательной и поглощательной способностями тела имеется связь, установленная Кирхгофом.

Закон Кирхгофа. Отношение излучательной и поглощательной способностей тела не зависит от природы тела, оно является одной и той же (универсальной) функцией частоты (длины волны) и температуры

абсолютно чёрного тела.

Закон Кирхгофа отражает закономерность, существующую в природе и используемую на практике: чем сильнее тело излучает, тем сильнее оно поглощает падающее на него излучение. Этим объясняется обратимость спектров из-

23

лучения и поглощения. Радиаторы для отвода тепла имеют чёрный цвет, а устройства для сохранения тепла (термосы, самовары) делают блестящими.

1.1.2. Законы Стефана-Больцмана и Вина

Знание явного вида функции f ( ,T ) позволяет определять спектральную плотность излучения, которая даёт большую информацию об излучающем теле.

Опытным путем получены зависимости спектральной плотности излучения от длины волны (частоты) при различных температурах (рис. 1.3). При этом в качестве абсолютно чёрного тела используется отверстие в дверце муфельной печи и спектрометрические приборы. Площадь под кривой f ( ,T ) пропор-

Рис. 1.3 циональна энергетической светимости.

Как видно из рис. 1.3 она возрастает с увеличением температуры. Максимум излучательной способности сдвигается в сторону более коротких длин волн (больших частот). Анализ экспериментальных данных и применение законов термодинамики позволило физикам Й.Стефану и Л.Больцману установить зависимость интегральной энергетической светимости от температуры:

Закон Стефана-Больцмана. Энергетическая светимость абсолютно чёрного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической темпе-

Смещение максимума спектральной плотности излучения при изменении температуры подчиняется закону В.Вина.

24

Закон смещения Вина. Длина волны max , соответствующая максимуму

спектральной плотности излучения абсолютно чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре

max в/T ,

м K – постоянная Вина.

Законы теплового излучения применяются при проектировании и изготовлении нагревательных и осветительных устройств; приборов ночного видения; приборов для дистанционного измерения температуры, например, в эпицентре ядерного взрыва, в доменной печи; температуры звёзд и др.

1.1.3. Квантовая гипотеза Планка. Формула Планка

Многочисленные попытки теоретически установить явный вид функции Кирхгофа (излучательной способности абсолютно чёрного тела) не могли дать общего решения, согласующегося с опытом. Причина состояла в том, что использовались незыблемые в то время законы классической физики. Излучающее тело рассматривалось как совокупность гармонических осцилляторов, а излучение в полости как система стоячих волн. Исходя из теоремы классической статистики о равномерном распределении энергии по степеням свободы, Рэлей и Джинс предположили, что на каждое электромагнитное колебание при-

электрическую составляющую энергии, 12 kT – на магнитную энергию. Для

С точки зрения классической функции оно было безупречным, однако соответствовало опыту лишь при малых частотах (при больших длинах волн), а

энергетическая светимость R f ( ,T )d получалась бесконечной.

0

25

В области больших частот опытные данные соответствовали формуле Вина, которая была получена на основе законов термодинамики

А, В – постоянные величины.

В 1990 году М. Планку удалось найти вид функции f ( ,T ) , точно соответствующий опытным данным.

Для этого ему пришлось сделать совершенно несвойственное классической физике предположение, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов). Существуют осцилляторы с наименьшей энергией ε0 , энергия других может быть только кратна ε0 ( ε = n ε0 , n = 0,1,2,…), т.е. принимает дискретные значения. Применяя законы статистики, М. Планк получил среднее значение энергии осциллятора

в точности соответствует экспериментальным данным.

Используя определения для интегральной энергетической светимости и понятие экстремума функции, можно легко получить законы СтефанаБольцмана и смещения Вина, вычислить теоретические значения постоянных величин, входящих в эти законы.

26

1.2.Фотоэлектрический эффект

Кчислу явлений, в которых обнаруживаются корпускулярные (квантовые) свойства света, относится фотоэлектрический эффект (фотоэффект).

Фотоэффект – это освобождение электронов от сил связи с атомом или веществом под действием света.

В зависимости от степени освобождения электронов от сил связи различают внешний, внутренний и вентильный фотоэффект.

При внешнем фотоэффекте электроны вылетают с поверхности вещества. При внутреннем фотоэффекте освобожденные электроны остаются внутри вещества (полупроводника или диэлектрика), в результате чего увеличивается концентрация носителей зарядов и, следовательно, проводимость. Вентильный фотоэффект наблюдается чаще всего при освещении контакта полупроводников с различными типами проводимости и проявляется в возникновении фото ЭДС. Все виды фотоэффекта нашли широкое применение в современной технике и технологию.

1.2.1.Опытные законы фотоэффекта

Закономерности фотоэффекта были выявлены русским ученым А.Г. Столетовым при анализе экспериментальных данных.

Практически полную информацию о фотоэффекте дают вольтамперные характеристики, полученные при различных условиях. Схема установки (работы фотоэлемента) приведена на рис. 1.4.

В откачанный стеклянный баллон впаяны электроды: К – катод, А – анод. На них подается напряжение от источника через потенциометр П.

Рис. 1.4

Свет падает на катод через кварцевое стекло, которое пропускает весь спектр, включая ультрафиолетовую часть. Имеется возможность изменять величину напряжения, знак заряда на электродах, а также измерять ток и напряжение.

27

Изменяя интенсивность падающего света (световой поток) при неизменной частоте, получают серию вольтамперных характеристик (рис. 1.5).

ряжение Uз (поменять полярность на катоде и аноде). При таком напряжении электроны не могут преодолеть задерживающее поле, даже при максимальной скорости vmax .

Здесь m – масса электрона, е – его заряд.

Другая серия вольтамперных характеристик получалась при постоянном световом потоке (Ф = const), но при различных частотах падающего света, что достигалось путем использования соответствующих светофильтров (рис. 1.6).

При увеличении частоты излучения величина задерживающего потенциала увеличивалась.

Обобщая полученные данные, А.Г. Столетов сформулировал три закона внешнего фотоэффекта.

Рис. 1.6

Первый закон Столетова. При неизменной частоте падающего света ток насыщения прямо пропорционален интенсивности света (световому потоку)

28

Здесь – чувствительность фотокатода, зависящая от его материала, формы, размеров, чистоты поверхности.

Иначе говоря, количество вырванных электронов с поверхности катода, пропорционально световому потоку, т.к. Iнас en , где n – количество электронов, испускаемых за 1с.

Второй закон Столетова. Величина задерживающего потенциала пропорциональна частоте падающего света и не зависит от светового потока.

Учитывая соотношение (1.15), можно сказать, что максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется только частотой падающего света.

Третий закон Столетова. Для каждого вещества фотокатода существует минимальная частота (максимальная длина волны), ниже которой фотоэффект не существует.

Установленные экспериментально зависимости не укладываются в рамки классических представлений.

Первый закон Столетова качественно можно объяснить на основе классических законов. Действительно, чем больше интенсивность света, тем больше амплитуда электрической компоненты электромагнитной волны и больше амплитуда вынужденных колебаний электронов и возможности освобождения от сил связи.

Но тогда и кинетическая энергия вырванных электронов должна зависеть от интенсивности света, что противоречит опыту. Несложный расчет показывает, что при таком подходе величина задерживающего потенциала обратна квадрату частоты.

1.2.2.Уравнение Эйнштейна

В1905 г. А. Эйнштейн показал, что все закономерности фотоэффекта легко объясняются, если предположить, что свет поглощается порциями h (квантами).

Впростейшем случае каждый фотон поглощается только одним электроном. Поэтому количество вырванных светом электронов будет тем больше,

29

чем больше фотонов, т.е. чем больше интенсивность света. Так объясняется первый закон Столетова.

Часть энергии фотона расходуется на совершение работы против сил связи электрона с веществом (она называется работой выхода А). Остаток энер-

гии идет на увеличение кинетической энергии электрона (Eк 12 mv2 ) . Эта энер-

гия будет максимальной, если электрон не потеряет её при случайных столкновениях в веществе. В этом случае должен выполняться закон сохранения энергии

Это уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Оно было многократно подтверждено опытами многих ученых.

Если учесть, что кинетическую энергию электрона можно найти по ве-

текает зависимость величины задерживающего потенциала от частоты ( ) падающего света:

света) называются красной границей фотоэффекта. При большой интенсивности излучения (например, сфокусированный лазерный луч) возможны многофотонные взаимодействия, тогда красная граница смещается в сторону меньших частот (больших длин волн).

1.2.3. Характеристики фотона

Законы теплового излучения и фотоэффекта показали, что свет излучается и поглощается в виде частиц – фотонов. Как частица фотон обладает не

30