Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Движение двух материальных точек выражается уравнениями = 20 + 2 t – 4 и = 2 + 2 t + 0,5. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

Ответ: t = 0; V₁ = V₂ = 2 , = 8 ,= 1_.

Задача 2. Две материальные точки движутся согласно уравнениям = 4t + 8 – 16 и = 2t – 4 + . В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости точек в этот момент.

Ответ: t = 0,235 c; V₁ = 5,1 _, V₂ = 0,286 _.

Задача 3. Движение материальной точки задано уравнением

x = 4t – 0,05. Определить момент времени, в который скорость точки равна нулю. Найти координату и ускорение точки в этот момент. Построить графики координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

Ответ: t = 40 c; x = 80 м; a =  0,1 _.

Задача 4. Определить скорость и ускорение точки, движущейся по прямой, к концу пятой секунды, если уравнение движения имеет вид

x = 5 + 2 + 8 t, где x - в метрах, t – в секундах.

Ответ: V = 403 _, a = 154 _.

Задача 5. Скорость частицы, движущейся по прямой, изменяется по закону V = 15 + 4 t + 8 _. Определить путь s, который пройдёт частица за время t = 2 с.

Ответ: s = 64 м.

Задача 6*.. Движение точки по прямой задано уравнением x = 2 t - . Определить среднюю скорость движения точки в интервале времени от = 1 c до = 3 с.

Ответ: V_ср = 0,5 _.

Задача 7. Машинист пассажирского поезда, который шёл со скоростью 30 _, увидел впереди товарный поезд, идущий на 180 м впереди с постоянной скоростью 9 . Машинист сразу затормозил, причём тормоза вызвали ускорение пассажирского поезда, равное 1,2 . Произойдёт ли крушение? Реакция машиниста мгновенна.

Ответ: Крушение произойдёт, столкнутся через 15с.

Задача 8. Поезд тронулся с места и на некотором участке пути двигался равноускоренно с ускорением 0,2 . Определить его скорость в конце второй минуты и путь, пройденный им за это время. Начертить графики координаты, пути и скорости.

Ответ: V = 24 ;s = 1440 м.

Задача 9. Самолёт садится на посадочную дорожку длиной 360 м. Какова скорость в момент приземления, если, двигаясь с постоянным отрицательным ускорением, самолёт останавливается в конце дорожки через 30 с после приземления?

Ответ: V = 24 .

Задача 10. С какой высоты упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t = 0,1 с?

Ответ: h = 5,51 м.

Задача 11. Камень падает с высоты h = 1200 м. Какой путь пройдёт камень за последнюю секунду своего падения?

Ответ: s = 150 м.

Задача 12. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью

V₀ = 20 _. а) Через сколько секунд камень будет находиться на высоте h = 15 м? б) Какова будет скорость камня на этой высоте? Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g = 10 .

Ответ: = 1 c, V₁ = 10 (вверх);= 3c, V₂ = 10 (при падении).

Задача 13. Вертикально вверх брошен камень с начальной скоростью V₀ = 20 . Через 1с после этого брошен вертикально вверх второй камень с такой же скоростью. На какой высотеh встретятся камни?

Ответ: h = 19,2 м.

Задача 14*. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте 8,6 м два раза с интервалом 3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

Ответ: V₀ = 13 .

Задача 15. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью V₀ = 5 . Через 2 с мячик упал на землю. Определить высотуh балкона над землёй и скорость мячика в момент удара о землю.

Ответ: h = 9,6 м; V = 15 .

Задача 16. Тело брошено с балкона вертикально вверх со скоростью V₀ = 10 . Высота балкона над поверхностью Землиh = 12,5 м. Написать уравнение движения и определить среднюю скорость V_ср с момента бросания до момента падения на Землю.

Ответ: V_ср = 6,4 .

Задача 17. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через 2 с камень упал на землю на расстоянии 40 м от основания вышки. Определить начальную и конечную скорости камня.

Ответ: V₀ = 20 ;V = 28 .

Задача 18. Тело, брошенное в горизонтальном направлении со скоростью V₀ = 20 , упало на землю на расстоянииs (от основания башни), вдвое большем, чем высота башни h. Найти высоту башни.

Ответ: h = 20,4 м.

Задача 19*. Тело брошено под углом  к горизонту. Найти величину этого угла, если горизонтальная дальность полёта s в 4 раза больше, максимальной высоты подъёма H.

Ответ:  = 45⁰.

Задача 20. Снаряд, выпущенный из орудия с начальной скоростью V₀ под углом  = 30⁰ к горизонту, попал в цель, находящуюся от орудия на расстоянии l = 100 м (по горизонтали). Найти начальную скорость снаряда, если ОА образует с горизонтом угол  = 10⁰ (рис. 1.28).

Ответ: V₀ = 40 .

Задача 21. Пули пущена с начальной скоростью V₀ = 200 под углом = 60⁰ к плоскости горизонта. Определить наибольшую высоту подъёма H, дальность полёта s и радиус кривизны R траектории пули в её наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: H = 1530 м; s = 3535 м; R = 1020 м.

Задача 22*. Два тела движутся по одной прямой с ускорениями = 1,= 3Некоторую точкуА пути второе тело проходит спустя  = 14 с после первого тела в том же направлении. В точке А скорость первого тела = 22, скорость второгоu_a = 10 . Через сколько времени после прохождения первым телом точкиА оба тела столкнутся?

Ответ: = 51 с (второе тело догоняет первое).

Задача 23*. Поезд начинает движение из состояния покоя и равномерно увеличивает свою скорость. На первом километре она возросла на 10 . На сколько она возрастает на втором километре?

Ответ: V₂ – V₁ = 4,1 .

Задача 24*. Автомобиль начинает движение из состояния покоя и, двигаясь по прямой, проходит первый километр с ускорением , а второй – с ускорением. При этом на первом километре его скорость увеличивается на 10, а на втором километре – на 5. Какое ускорение больше:или?

Ответ: = 0,05; = 0,0625 .

Задача 25*.. Камень брошен вертикально вверх. Какой должна быть его начальная скорость, чтобы подъём на высоту 29,4 м занял 6 с? Как изменится это число, если сократить время подъёма до 3 с? Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: 1) V₀ = 34,3 ; 2)V₀ = 24,5 м.

Задача 26*. Ускорение материальной точки изменяется по закону

а = 3. Найти, на каком расстоянии от начала координат она будет находиться в момент времениt = 1 c, если = 0, = 0.

Ответ: x = 0,25 м.

Задача 27*. Ракета стартует с поверхности Земли вертикально вверх с ускорением а =  , где  = 1 м/с⁴. На высоте = 100 км от Земли двигатели ракеты выходят из строя. Через сколько времени (считая момент выхода двигателей из строя) ракета упадёт на Землю? Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Начальная скорость ракетыV₀ = 0.

Ответ: V₀₁ =  12,1 , гдеV₀₁ – скорость ракеты до выхода из строя двигателя. Ракета на Землю не вернётся.

Задача 28*. Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии 5 м от места бросания. Высота места удара мяча о стенку на 1 м меньше высоты, с которой брошен мяч. 1) С какой скоростью был брошен мяч? 2) Под каким углом мяч подлетает к поверхности стенки? Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: 1) V₀ = 11,1 ; 2) = .

Задача 29*. Камень брошен горизонтально со скоростью V_x = 15 . Найти нормальное и тангенциальное ускорение камня через 1 с после начала движения.

Ответ: a_ = 5,4 ;a_n = 8,2 .

Задача 30. Камень, брошенный со скоростью V₀ = 12 под углом = 45⁰ к горизонту, упал на Землю на расстоянии s от места бросания. С какой высоты h надо бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы он упал на то же место при той же начальной скорости V₀?

Ответ: h = 7,4 м.

Задача 31*. Под каким углом к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы поразить цель, находящуюся на расстоянии 10 км, если начальная скорость снаряда V₀ = 500 ? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ:  = 11,5⁰ или 78,5⁰.

Задача 32*. На высоте h = 5000 м летит прямолинейно самолёт с постоянной скоростью V = 100 . В момент, когда самолёт находится над зенитной батареей, производится выстрел. Начальная скорость снарядаV₀ = 500 . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) Под каким углом к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы снаряд попал в самолёт (произошло пересечение траекторий)? б) На какую продолжительность полёта нужно поставить взрыватель, чтобы снаряд разорвался в момент встречи? в) На каком расстоянии от места встречи отстоит батарея?

Ответ: а)  = 78,5⁰; б) t = 11,5 с; в) s = 1150 м.

Задача 33. С вершины горы под углом  = 36⁰ к горизонту бросает камень с начальной скоростью V₀ = 5 . Угол наклона горы к горизонту также составляет 36⁰. На каком расстоянии l от точки бросания упадёт камень?

Ответ: l = 6,02 м.

Задача 34. Скорость частицы, движущейся по прямой, изменяется по закону V = 3 +2 t . Определить путь, который частица пройдёт за

1 с.

Ответ: s = 4 м.

Задача 35*. На листе бумаги начерчен прямой угол. Линейка, оставаясь всё время перпендикулярной биссектрисе этого угла, движется по бумаги со скоростью 10 . Концы линейки пересекают стороны начерченного угла. С какой скоростью движутся по сторонам угла точки их пересечения с линейкой.

Ответ: V₁ = V₂ = 14,1 .

Задача 36. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости  = 20 черезN = 10 об после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

Ответ:  = 3,2 .

Задача 37. Маховое колесо спустя t = 1 мин после начала вращения приобретает скорость, соответствующую  = 12 . Найти угловое ускорение колеса и число оборотов за эту минуту.

Ответ:  = 1,26 ;N = 360 об.

Задача 38. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою скорость за 1 мин с 300 до 180. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время.

Ответ:  =  0,21 ,N = 240 об.

Задача 39. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 15 . После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

Ответ: t = 10 с.

Задача 40. Вал вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте 180 . С некоторого момента вал тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением, численно равны 3. Через сколько времени вал остановится? Сколько оборотов он сделает до остановки?

Ответ: а) t = 6,3 с; б) N = 9,4 об.

Задача 41*.. Маховик, вращавшийся с постоянной угловой скоростью, соответствующей частоте 10 , при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение снова стало равномерным, но уже с частотой 6. Определить угловое ускорение маховика и продолжительность торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделалN = 50 оборотов.

Ответ:  =  4 ;t = 6,25 с.

Задача 42. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением  = 2 . Черезt = 0,5 с после начала движения полного ускорение колеса стало равным а = 13,6 . Найти радиус колеса.

Ответ: R = м.

Задача 43*. Найти угловое ускорение колеса, если через 2 см после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 60⁰ с направлением линейной скорости этой точки.

Ответ:  = 0,43 .

Задача 44*. Точка движется по окружности радиусом R = 0,2 м с постоянным тангенциальным ускорением а_ = 5 . Через сколько времени после начала движения нормальное ускорениеа_n точки будет: а) равно тангенциальному; б) вдвое больше тангенциального?

Ответ: а) t = 2 с; б) t = 2,8 с.

Задача 45. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Закон движения выражается уравнением s = 8 – 2 м. Определить момент времени t, когда нормальное ускорение точки а_n равно 9 . Найти скоростьV, тангенциальное а_ и полное а ускорения точки в тот момент времени t.

Ответ: t = 1,5 c; V =  6 ;а_ =  4 ;а = 9,84 .

Задача 46*. Точка движется по окружности R = 0,1 м с постоянным тангенциальным ускорением а_. Найти тангенциальное ускорение точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения скорость точки стала V = 0,79 .

Ответ: а_ = 0,1 .

Задача 47. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается с постоянным угловым ускорением  = 3,14 . Найти для точек на ободе колесо к концу первой секунды после начала движения: угловую скорость, линейную скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения и угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса.

Ответ:  = 3,14 ;V = 0,314 ;а_ = 0,314 ;а_n = 0,986 ;

а = 1,03 ; = 17⁰.

Задача 48. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени задана уравнением s = 0,1 см. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки равна V = 0,3 .

Ответ: а_n = 4,5 _, а_ = 0,06 .

Задача 49. Точка движется по окружности радиусом R = 2 м согласно уравнению s = 2 . В какой момент времени t нормальное ускорение а_n точки будет равно тангенциальному а_? Чему равно полное ускорение а в этот момент времени?

Ответ: t = 0,87 с, а = 14,67 .

Задача 50. Движение точки по окружности радиусом R = 4 м задано уравнением x = 10 – 2 t + м. Найти тангенциальное а_, нормальное а_n и полное а ускорения точки в момент времени t = 2 с.

Ответ: а_ = 12 ;а_n = 25 ;а = 27,73 .

Задача 51. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением а_ = 0,5 . Определить полное ускорение точки на участке кривой с радиусом кривизныR = 3 м, если точка движется на этом участке со скоростью V = 2 .

Ответ: а = 1,42 .

Задача 52. По дуге окружности радиусом R = 0,1 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки а_n = 4,9 , вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором нормального ускорения угол 60⁰. Найти скорость V и тангенциальное ускорение а_ точки.

Ответ: V = 0,7 ;а_ = 8,5 .

Задача 53*. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоставили ему опускаться. Двигаясь равноускоренно, грузик за 3 с опустился на 1,5 м. Определить угловое ускорение цилиндра, если его радиус 4 см.

Ответ:  = 8,3 .

Задача 54. Диск радиусом 10 см начал вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением  = 0,5 . Каковы были тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения?

Ответ: а_ = 0,05 ;а_n = 0,1 ;а = 0,11.

Задача 55. Диск радиусом 20 см вращается согласно уравнения

 = 3 – t + 0,1. Определить полное ускорение точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

Ответ: а = 168 .

Задача 56. Линейная скорость точек на окружности вращающегося диска V₁ = 3 точки, расположенные на 10 см ближе к оси, имеют линейную скоростьV₂ = 2 . Сколько оборотов в секунду делает диск?

Ответ:  = 1,6 .

Задача 57. Найти радиус вращающегося колеса, если линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса.

Ответ: R = 8,3 см.

Задача 58*. Точка движется по окружности радиусом 10см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти нормальное ускорение точки через 20 с после начала движения, если к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки равна 10 .

Ответ: а_n = 0,01.

Задача 59*. Шкив радиусом 20 см приводится во вращение грузом, подвешенным на нити, постепенно сматывающейся со шкива. В начальный момент груз был неподвижен, а затем стал опускаться с ускорением а = 2 . Какова угловая скорость  шкива в тот момент, когда груз пройдёт путь 1 м? Каково ускорение точек, лежащих на ободе шкива в этот момент?

Ответ:  = 1 ;а = 0,2 .

Задача 60*. Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени задана уравнением s = 20 – 2 t + t² м. Найти линейную скорость точки, её тангенциальное, нормальное и полное ускорения через 3 с после начала движения, если нормальное ускорение через 2 с было 0,5 .

Ответ: V = 4 ;а _ = 2 ;а_n = 2 ;а = 2,83 ;

Задача 61. Колесо радиусом 0,1 м вращается вокруг оси по закону

 = 4 + 2 t + рад. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения угловую скорость, линейную скорость, угловое ускорение, тангенциальное, нормальное и полное ускорения.

Ответ: V = 1,4 ; = 14 ; =12 ;а_ = 1,2 ;а_n = 19,6 ;а = 20 .

Задача 62*. Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени задаётся уравнением V = 3 t + Найти угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в моменты времениt = 0, 1, 2, 3, 4, 5 с после начала движения.

Ответ: tg = ;  = 90⁰; 72⁰; 35⁰; 15,5⁰; 8⁰; 4,5⁰.

Задача 63.Колесо вращается так, что зависимость угла поворота от времени задана уравнением  = 2 + t + + рад. Найти радиус колеса, если к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе, равно а_n = 346 .

Ответ: R = 1,2 м.

Задача 64. Найти, во сколько раз нормальное ускорение точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, больше её тангенциального ускорения для того момента, когда вектор полного ускорения этой точки составляет угол 30⁰ с вектором её линейной скорости.

Ответ: = 0,58.

Задача 65.. Якорь электромотора, вращавшийся со скоростью

 = 50 , двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился, сделавN = 1680 оборотов. Найти угловое ускорение якоря.

Ответ:  = 4,7 .

Задача 66. Определить линейную скорость точек земной поверхности на экваторе, на широте  = 60⁰ и на полюсе.

Ответ: V = 466 ; 233; 0.

Задача 67*.. Найти угловое ускорение лопатки турбины, расположенной на расстоянии 1 м от оси вращения, через 15 с после пуска турбины, если зависимость линейной скорости лопатки от времени выражена уравнением V = 2 t + 0,8_.

Ответ:  = 26 .