- •Занятие 1 кинематика поступательного и вращательного движения твердого тела
- •Литература
- •Контрольные вопросы для подготовки к занятию
- •Краткие теоретические сведения и основные формулы
- •Величина полного ускорения
- •Виды и параметры движения
- •В случае равномерного вращательного движения угловая скорость
- •Поступательное и вращательное движения
- •Примеры решения задач
- •Решение
- •Решение Для построения графика найдем характерные значения координаты: начальную координату, максимальную координату и равную нулю, моменты времени, соответствующие им.
- •Решение
- •Решение
- •Качественные задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
Решение
В течение всего времени, пока камень движется, его движение совершается по одному и тому же закону. Действительно, ускорение камня равное ускорению свободного падения, если пренебречь сопротивлением воздуха, все время остается неизменным, следовательно, движение камня является равнопеременным движением с отличной от нуля начальной скоростью. Закон движения не меняется в тот момент, когда скорость изменяет свое направление на противоположное первоначальному.
Движение камня проходит по закону
(1)
его скорость
(2)
Знаки начальной скорости и ускорения и численное значение определяются выбором положительного направления оси и начала отсчета.
Рассмотрим эту задачу в трех случаях.
1) Ось OY направлена вверх, начало отсчета помещается на уровне земли (рис.1.3) Тогда при .
Уравнения (1) и (2) примут вид
при t = τ, y = -h
2) Ось OY направлена вниз, начало отсчета на уровне земли (рис 1.4). Тогда при .
Уравнение имеют вид
при t = τ y = + h
3) Ось OY направлена вверх, начало отсчета на уровне дна колодца (рис.1.5). Тогда при
Уравнение движения имеет вид
при t = τ, y = 0, тогда
Все три варианта дают одинаковые уравнения движения при t = τ
Для определения решим квадратное уравнение
Корень его не учитываем, так как он не имеет физического смысла.
а) Можно найти максимальную высоту подъема камня, исходя из того, что дискриминант
Тогда а максимальное значение
м;
б) Найти время, по истечении которого камень находится в любой промежуточной точке своего пути.
При ,имеет два значения, так как в каждой точке камень бывает дважды за время движения.
Задача 5. Камень брошен с высоты h=2,1 м под углом = 45˚ к горизонту и падает на землю на расстоянии S = 42 м (по горизонтали) от места бросания. Найти начальную скорость V0 камня, время полета τ и максимальную высоту подъема над уровнем земли. Определить также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на землю.
Дано:Решение
h = 2,1 м
= 45˚
S = 42 м
V0 - ? τ - ? H - ?
R1 и R2 - ?
Рис.1.6
Движение камня, происходящее по параболе, можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного движения по горизонтали (по оси Х) и равнопеременного по вертикали (по оси Y). Начало отсчета удобно выбрать в точке бросания. Ось Y направлена вертикально вверх.
Для движения камня по оси Х получаем ;при t = τ x = S .
Следовательно,
(1)
Для движения по оси OY
(2)
. (3)
При t = τ, y = h, поэтому
(4)
(5)
Решая совместно уравнения (1) и (4), находим τ и V0:
1) τ = с,
2)
3) Высоту подъёма камня можно найти из условия H = h + ymax .
При
отсюда ( – время подъёма камня).
Подставив в уравнение (4), получим тогда
м.
4) Для определения радиуса кривизны траектории в данной точке нужно определить по величине и направлению вектор полного ускорения. В верхней точке траектории ,следовательно, векторы ускорения и скорости взаимно перпендикулярны. Это значит, чтоaτ = 0, an = g. Зная ускорение и скорость, найдём радиус кривизны траектории в верхней точке.
; и
В конечной точке траектории синус угла βмежду векторами скорости и ускорения может быть выражен как показано на рис.1.7.
Разложим вектор полного ускорения на нормальное и тангенциальное, получим
Радиус траектории в этой точке находится из соотношения т.е.
Тогда R2 = 63 м.
Ответ:
Задача 6. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 10 + 20 t – 2 t2 рад. Найти: 1) Угловую скорость, угловое ускорение и полное ускорение точки, находящейся на расстоянии R = 0,1 м от оси вращения, для момента времени = 4 с (рис. 1.8). 2) Через сколько времени тело остановится? 3)Сколько оборотов сделает до остановки?
Дано:
φ = 10 + 20 t –2 t2 рад
R = 0,1 м
= 4 c
= 0
- ? ε - ? a -? t - ? N - ?
Рис. 1.8