Решение

В течение всего времени, пока камень движется, его движение совершается по одному и тому же закону. Действительно, ускорение камня равное ускорению свободного падения, если пренебречь сопротивлением воздуха, все время остается неизменным, следовательно, движение камня является равнопеременным движением с отличной от нуля начальной скоростью. Закон движения не меняется в тот момент, когда скорость изменяет свое направление на противоположное первоначальному.

Движение камня проходит по закону

(1)

его скорость

(2)

Знаки начальной скорости и ускорения и численное значение определяются выбором положительного направления оси и начала отсчета.

Рассмотрим эту задачу в трех случаях.

1) Ось OY направлена вверх, начало отсчета помещается на уровне земли (рис.1.3) Тогда при .

Уравнения (1) и (2) примут вид

при t = τ, y = -h

2) Ось OY направлена вниз, начало отсчета на уровне земли (рис 1.4). Тогда при .

Уравнение имеют вид

при t = τ y = + h

3) Ось OY направлена вверх, начало отсчета на уровне дна колодца (рис.1.5). Тогда при

Уравнение движения имеет вид

при t = τ, y = 0, тогда

Все три варианта дают одинаковые уравнения движения при t = τ

Для определения решим квадратное уравнение

Корень его не учитываем, так как он не имеет физического смысла.

а) Можно найти максимальную высоту подъема камня, исходя из того, что дискриминант

Тогда а максимальное значение

м;

б) Найти время, по истечении которого камень находится в любой промежуточной точке своего пути.

При ,имеет два значения, так как в каждой точке камень бывает дважды за время движения.

Задача 5. Камень брошен с высоты h=2,1 м под углом  = 45˚ к горизонту и падает на землю на расстоянии S = 42 м (по горизонтали) от места бросания. Найти начальную скорость V₀ камня, время полета τ и максимальную высоту подъема над уровнем земли. Определить также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на землю.

Дано:Решение

h = 2,1 м

 = 45˚

S = 42 м

V₀ - ? τ - ? H - ?

R₁ и R₂ - ?

Рис.1.6

Движение камня, происходящее по параболе, можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного движения по горизонтали (по оси Х) и равнопеременного по вертикали (по оси Y). Начало отсчета удобно выбрать в точке бросания. Ось Y направлена вертикально вверх.

Для движения камня по оси Х получаем ;при t = τ x = S .

Следовательно,

(1)

Для движения по оси OY

(2)

. (3)

При t = τ, y =  h, поэтому

(4)

(5)

Решая совместно уравнения (1) и (4), находим τ и V₀:

1) τ = с,

2)

3) Высоту подъёма камня можно найти из условия H = h + y_max .

При

отсюда ( – время подъёма камня).

Подставив в уравнение (4), получим тогда

м.

4) Для определения радиуса кривизны траектории в данной точке нужно определить по величине и направлению вектор полного ускорения. В верхней точке траектории ,следовательно, векторы ускорения и скорости взаимно перпендикулярны. Это значит, чтоa_τ = 0, a_n = g. Зная ускорение и скорость, найдём радиус кривизны траектории в верхней точке.

; и

В конечной точке траектории синус угла βмежду векторами скорости и ускорения может быть выражен как показано на рис.1.7.

Разложим вектор полного ускорения на нормальное и тангенциальное, получим

Радиус траектории в этой точке находится из соотношения т.е.

Тогда R₂ = 63 м.

Ответ:

Задача 6. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 10 + 20 t – 2 t² рад. Найти: 1) Угловую скорость, угловое ускорение и полное ускорение точки, находящейся на расстоянии R = 0,1 м от оси вращения, для момента времени = 4 с (рис. 1.8). 2) Через сколько времени тело остановится? 3)Сколько оборотов сделает до остановки?

Дано:

φ = 10 + 20 t –2 t² рад

R = 0,1 м

= 4 c

 = 0

- ? ε - ? a -? t - ? N - ?

Рис. 1.8