- •Федеральное агентство по образованию
- •Глава 1
- •1.1. Свободный электронный газ Ферми
- •1.2. Теплоемкость вырожденного электронного газа
- •1.3. Квантовая теория спинового парамагнетизма
- •1.4. Модель металлической проводимости
- •1.5. Плазменные колебания электронного газа
- •1.6. Свободные электроны в магнитном поле
- •Глава 2
- •2.1. Уравнение Шредингера для твердого тела
- •2.2. Теорема Блоха
- •2.3. Приближение почти свободных электронов
- •2.4. Приближение сильно связанных электронов
- •2.5. Зоны Бриллюэна
- •2.6. Число состояний электронов
- •2.7. Квазиимпульс
- •2.8. Движение электронов в кристалле под
- •2.9. Эффективная масса
- •2.10. Электроны и дырки
- •2.11. Металлы, диэлектрики, полупроводники
- •2.12. Энергетические уровни локальных и
- •2.13. Энергетический спектр некристаллических
- •Глава 3
- •Глава 1. Квантовая теория свободных электронов
- •Глава 2. Зонная теория твердых тел
- •Глава 3. Статистика электронов и дырок в полупроводниках
1.6. Свободные электроны в магнитном поле
Для модели свободных электронов в отсутствии магнитного поля решения уравнения Шредингера (1.1) представляют собой плоские волны, волновые вектора которых связаны с собственными значениями энергии электрона соотношением
. (1.49)
Рассмотрим динамику электронного газа в постоянном магнитном поле . Положим, что магнитное поле направлено по осиz. Известно, что магнитное поле Вz будет оказывать действие на движение электрона в плоскости ху, оставляя невозмущенным его движение в z-направлении. Сила Лоренца превращает движение электрона в сумму прямолинейного движения в направлении z и циклотронного движения в плоскости ху. Таким образом, электрон движется по спиральной траектории.
Из теории электромагнитного поля известно, что вектор индукции магнитного поля связан с векторным потенциаломсоотношением . В нашем случае магнитное поле имеет одну z- компоненту , а его вектор-потенциал – толькоy- компоненту.
Электрон с зарядом - е и импульсом , при прохождении в области действия поля, определяемого векторным потенциалом, будет иметь обобщающий импульс . Функция гамильтона электрона для этого случая запишется в виде
, (1.50)
Переходя от функции Гамильтона к оператору Гамильтона, уравнение Шредингера будет иметь вид
. (1.51)
Поскольку сила Лоренца не имеет составляющей в направлении , поле не оказывает влияния на энергию движения в этом направлении и она остается равной. Но для определения характера движения в плоскости (x,y) надо решить уравнение (1.51). Решение этого уравнения следует искать в виде суперпозиции
, (1.52)
где - некоторая функция, зависящая только отх.
При подстановке (1.52) в (1.51) получим для уравнение
. (1.53)
Введем обозначения: ;;.
Теперь уравнение (1.53) принимает вид
. (1.54)
Оно формально совпадает с уравнением Шредингера для одномерного осциллятора, колеблющегося вокруг с частотой.
Собственные значения энергии электрона будут равны
, ,. (1.55)
Энергия электрона представлена в виде суммы энергии поступательного движения вдоль магнитного поля (по z) и квантованной энергии циклотронного движения в перпендикулярной плоскости (ху). Для данного значения квантового числа n циклотронное движение происходит по траектории с радиусом
. (1.56)
Отождествляя сисможно видеть, что электронная прецессия в - пространстве должна удовлетворять условию
. (1.57)
Таким образом, все состояния, соответствующие данному значению n, попадают в -пространстве на цилиндрическую поверхность радиусом
. (1.58)
Э
Рис.
1.5. Влияние магнитного поля на области
-пространства,
которые могут быть заняты электронами.
Разрешенные состояния образует ряд
бесконечных коаксиальных цилиндров,
параллельных
.
Таким образом, влияние магнитного поля сводится к тому, что оно создает квантованные орбиты в -пространстве и заставляет свободные электроны «конденсироваться» на ближайших орбитах (см. рис. 1.6). Число состояний на каждой орбите точно равно числу прежних состояний в кольце, в котором лежит орбита.
Де Гааз и Ван-Альфен в 1930 г. обнаружили осциллирующую зависимость от поля магнитной восприимчивости.
Н
B
= 0
Рис.
1.6. Схема
квантования для свободных электронов.
П
Рис.
1.7. Плотность состояний свободных
электронов как функция энергии при
наличии большой магнитной индукции.
D0(E)
– плотность
состояний в отсутствии магнитного
поля.
Сходное осциллирующее поведение обнаруживает не только восприимчивость, но и проводимость (эффект Шубникова – де-Гааза), магнитострикция и практически все другие величины при тщательном их измерении.