2.6. Число состояний электронов

в энергетической зоне

Для того чтобы подсчитать число допустимых значений в зоне Бриллюэна, т.е. число состояний в энергетической зоне, воспользуемся условием цикличности Борна-Кармана. Обоснованием этого условия является периодичность свойств электрона в кристалле.

Рассмотрим кубическую решетку с параметром а. Для кристалла в форме параллелепипеда со сторонами ,,циклические граничные условия Борна-Кармана для волновой функцииимеют вид

. (2.44)

Учитывая вид волновой функции электрона в форме функции Блоха, мы можем получить

(2.45)

Для выполнения условия (2.45) необходимо, чтобы

, (2.46)

а это в свою очередь означает, что

. (2.47)

Равенство (2.47) выполняется, если

; ;, (2.48)

где ,,- произвольные целые числа.

Отсюда следует, что компоненты волнового вектора изменяются не непрерывно, а дискретно. Вследствие этого оказывается квантованной и энергия электрона в разрешенной зоне.

Перепишем (2.48) в виде

, (2.49)

так как для кубической решетки .

Учитывая, что состояния с волновыми векторами иэквивалентны, нет необходимости рассматривать бесконечный ряд значений. Достаточно ограничиваться условием

, . (2.50)

Из (2.50) следует, что число возможных состояний определяется числом атомов. Выбирая симметричный относительноинтервал изменения значений волнового вектора, для компонентовможем записать

, ,, (2.51)

где , , принимают соответственно ,,различных значений. Отметим, что полученный интервал значений волнового вектора совпадает с интервалом значенийдля первой зоны Бриллюэна (2.43).

В разрешенной энергетической зоне, соответствующей зоне Бриллюэна, имеется всего различных энергетических состояний, равных числу элементарных ячеек в кристалле. На каждом энергетическом уровне зоны в соответствии с принципом Паули может находиться не более двух электронов с противоположно направленными спинами. Следовательно, с учетом кратности вырожденияg, энергетическая зона может содержать электронов.

2.7. Квазиимпульс

Как показано в разделе 1.1, поведение свободного электрона описывается плоской волновой де Бройля, его импульс связан с волновым вектором соотношением , а закон дисперсии имеет квадратичный вид.

Если на свободный электрон не действуют внешние силы, то его энергия не изменяется и, следовательно, не меняется и остается постоянным импульс. Это и приводит к известным законам сохранения энергии и импульса.

В квантовой механике условием сохранения неизменности во времени какой-либо физической величины является коммутация оператора этой величины с оператором Гамильтона

. (2.52) ВеличинуL в таком случае называют интегралом движения.

На электрон, движущийся в кристалле, действует периодическое потенциальное поле решетки. Значит, под действием этого поля изменяются во времени энергия и импульс электрона Действительно, оператор импульса не коммутирует с оператором Гамильтона для электрона в кристалле:

. (2.53)

Для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла, можно ввести характеристику, аналогичную импульсу, но сохраняющуюся во времени

. (2.54) Величинуназываютквазиимпульсом. В соответствии с дискретным спектром квазиимпульстакже должен принимать ряд дискретных значений. Для нее согласно определению

(2.55)

и, следовательно, собственные функции операторов идолжны быть общими, а между их собственными значениями должна быть взаимосвязь

. (2.56)

Классический закон изменения и сохранения энергии имеет вид

, (2.57)

где - приложенная сила,- скорость электрона с учетом заменына. Теперь выражение (2.57) перепишется в виде

. (2.58)

Учитывая выражения для скорости электрона и (2.58), можно получить закон изменения квазиимпульса во времени

. (2.59)

Как следует из определения квазиимпульса (2.54), при отсутствии внешних сил для идеального кристалла

и , (2.60)

в т о время, как по формуле (2.53)

, (2.61)

т.е. изменение импульса определяется внутренними силами. Однако если на кристалл наложить внешнее поле, не обладающее периодичностью потенциала кристаллической решетки, то согласно (2.59) изменение квазиимпульса во времени будет определяться внешней силой .