1.2. Теплоемкость вырожденного электронного газа

Согласно классической статистике, теплоемкость электронного газа составляет . Однако, эксперименты показывают, что электронный вклад в теплоемкость при комнатной температуре составляет обычно не более 1/100 от этой величины.

Применив к металлу модель свободных электронов и статистику Ферми-Дирака, Заммерфельду удалось объяснить расхождение теории и опыта. Для металлов порядка нескольких эВ. Поэтому при обычных температурах энергия большей части электронов меньше этой величины на несколькои более. Эти электроны не могут испытать рассеивающего соударения, слабо изменяющего энергию (количество приобретаемой электронами избыточной энергии само порядка), поскольку все состояния с близкой энергией уже заняты. Таким образом, только небольшая часть самых высокоэнергетичных электронов, составляющая примерно, способна реагировать на внешнее электрическое или температурное воздействие. Отсюда Зоммерфельд сделал вывод, что только электронные состояния, расположенные вблизи, определяют свойства металла.

Перейдем теперь к расчету теплоемкости свободных независимых электронов на основе квантовой теории. Интеграл по энергии по всем занятым состояниям дает полную кинетическую энергию электронного газа. Для средней энергии электронного газа при интегрирование по всем состояниям дает

. (1.14)

Энергия электронов при несколько превышает, потому что некоторые электроны оказываются термически возбужденными из состояний, лежащих несколько ниже, в состояния выше. При любой конечной температуре

. (1.15)

Электронную теплоемкость можно получить обычным путем, взяв производную (1.15) по абсолютной температуреT. Однако интеграл в (1.15) может быть взят только приближенно. Рассмотрим простое, но остроумное решение этой задачи.

Полное изменение энергии системы из N электронов при повышении температуры можно записать в виде

. (1.16)

Умножим число частиц (1.8) на , получим

. (1.17)

Продифференцируем далее (1.16) и (1.17) по Т

, (1.18)

, (1.19)

и вычтем (1.19) из (1.18).

Тогда для электронной теплоемкости получим

. (1.20)

При низких температурах () вместо функцииможно взять ее значение прии вывести ее из под знака интеграла

. (1.21)

Произведя дифференцирование и произведя замену переменных, перепишем (1.21) в виде

. (1.22)

Поскольку величина припренебрежимо мала, то нижний предел в интеграле можно заменить на - ∞.

Полученный интеграл является табличным . Таким образом, дляполучим

. (1.23)

Выражение для (1.23) можно переписать в более простой форме следующим образом. Из (1.10) путем логарифмирования и последующего дифференцирования получим

. (1.24)

Из (1.23) нетрудно, используя (1.24), получить еще одно выражение для

. (1.25)

По классической статистике каждый электрон вносил бы в теплоемкость вклад, равный . Выражение (1.25) показывает, что при сильном вырождении только часть электроноввносит вклад в теплоемкость. Это понятно, так как при малом повышении температуры свободные состояния, но которые могут перейти электроны, находятся в слое порядкавблизи.

Сравним величину со значением. Квантовые ограничения изменили вклад электронной теплоемкости в полную теплоемкость

. (1.26)

Это отношение даже при комнатной температуре равно по порядку величины 10^-2. Этим и объясняется тот факт, что свободные электроны при комнатной температуре не вносят вклада в теплоемкость металлов. Этот результат часто формулируют в виде утверждения, что в металле вырождена, т.е. уменьшена враз по сравнению с.