1.3. Квантовая теория спинового парамагнетизма

После открытия электронного спина стало ясно, что парамагнитную восприимчивость обусловлена направленной ориентацией магнитных моментов электронов из внешних оболочек. Каждый электрон обладает спиновым магнитным моментом, равным одному магнетону Бора и направленным антипараллельно его угловому моменту (спину). Согласно классической теории вероятность параллельной ориентации магнитных моментов атомов внешнему полюпропорционально, где– энергия взаимодействия моментас магнитным полем . Если система состоит изN атомов, то это дает суммарный магнитный момент . Такая зависимость, известная как закон Кюри, фактически ни в одном металле не выполняется. Измеренная парамагнитная восприимчивость электронов проводимости при комнатной температуре примерно на два порядка меньше предсказываемой классическими теориями величины и, более того, не зависит от температуры.

В 1827 г. Паули показал, что теория дает правильные результаты, если учесть, что электроны в металле подчиняются статистике Ферми-Дирака. Сначала рассмотрим качественное объяснение. Для большинства электронов проводимости в металле вероятность того, что спиновый момент при включении поля повернется в направлении поля, равна нулю, поскольку состояния ниже уровня Ферми со спином вдоль поля в подавляющем числе уже заняты. Поскольку лишь те электроны, которые имеют энергию ~, имеют шанс повернуться в поле, то только часть ~от общего числа электронов дает вклад в восприимчивость. Следовательно,

. (1.27)

Таким образом, восприимчивость не зависит от температуры и имеет правильный порядок величины.

Вычислим теперь более строгое выражение для парамагнитной восприимчивости свободного электронного газа.

Магнитное поле снимает вырождение между электронами с противоположными спинами. В металле это вызывает перераспределение электронов между состояниями с различными ориентациями спина, в результате чего возникает магнитный момент.

В магнитном поле к кинетической энергии электрона, в зависимости от направления спина, добавляется энергия относительно энергии в отсутствии поля.

Тогда заполнение состояний с антипараллельным спином (с параллельным спиновым магнитным моментом), обладающих меньшей энергий, будет увеличиваться за счет уменьшения заполнения состояний с параллельным спином таким образом, чтобы общий уровень Ферми сохранился (рис. 1.3).

Б

Рис. 1.3. К расчету парамагнитной восприимчиво­сти электронов проводимости. По оси ординат от­ложена энергия электронов, по оси абсцисс — плотность состояний. Занятые состояния заштри­хованы. Стрелками указаны направления спиновых магнитных моментов.

удем различать электроны со спиновым магнитным моментом «+» и «-» по отношению к направлению поля. Энергии их равны

, (1.28)

где Е – энергия в отсутствии магнитного поля.

Число электронов в каждом состоянии будет даваться двумя различными функциями Ферми-Дирака. Поскольку энергия каждого электронного уровня, отвечающего спиновому магнитному моменту, параллельному полю, сдвигается на вниз по отношению к ее значению при, а при антипараллельной ориентации – вверх на, то обе полузоны сместятся друг относительно друга на. Так как система стремится к минимуму энергии, то часть электронов из правой полузоны перетекает в левую с изменением направления спина (см. рис. 1.3). В результате появится магнитный момент, направленный по полю

. (1.29)

Как видно из рисунка, состояния со спиновым магнитным моментом, параллельным полю, содержат теперь больше электронов, чем раньше, а именно

, (1.30)

поскольку плотность состояний при первоначальной энергии Е поровну разрешена между электронами со спинами вверх и вниз.

Аналогично для концентрации электронов с магнитным моментом, антипараллельным полю , имеем

. (1.31)

Магнитный момент согласно (1.29) равен

. (1.32)

Учитывая, что , выражение (1.32) принимает вид

. (1.33)

С учетом выражения (1.24) для и принимая во внимание то, что, имеем

. (1.34)

Этот положительный магнитный момент приводит к пармагнитизму Паули. Он не зависит от температуры. Значение парамагнитной восприимчивости лишь немногим больше диамагнитной восприимчивости внутренних заполненных оболочек атомов. Эта величина соответствует магнитному действию тех электронов, энергия которых отличается не более чем наот энергии Ферми. Поскольку таких электронов очень мало, модель Паули правильно предсказывает вырождение магнитной восприимчивости.