1.4. Модель металлической проводимости

Зоммерфельда

Зоммерфельд заново рассмотрел модель Друде, заменив всюду классическое распределение по скоростям Максвелла-Больцмана распределением Ферми-Дирака. Использовав выражение для плотности состояний и функции распределения, Зоммерфельд пришел к выводу, что ответственными за проводимость могут быть только электроны с энергией, близкой к уровню Ферми. Он провел существенное различие между большим числом «свободных электронов» и меньшим числом «проводящих электронов».

Пусть на систему наложено электрическое поле , создающее направленный дрейф электронов. Импульс свободного электрона связан с волновым вектором соотношением

. (1.35)

Рассмотрим, как выглядит функция распределения , заданная выражением, где- функция распределения для равновесного состояния, которое осуществляется только в отсутствие полей и градиентов температуры.

При выключении поля любое отклонение от равновесного распределения будет затухать по закону

, (1.36)

где , определяемое из условия,есть время релаксации.

По теореме Тейлора для можно записать

, (1.37)

где .

Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми в -пространстве сдвинулась на величину(см. рис. 1.4).

В действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в глубине сферы Ферми. Из-за принципа Паули поле не может придать ускорение электронам в таких состояниях: по этой причине они не рассеиваются примесями. Приложение поля приводит к полному обеднению тонкой изогнутой области в -пространстве и полностью заселяет зеркально симметричную обл

Рис. 1.4. Смещение поверхности Ферми.

асть.

Для приращения дрейфовой скорости электрона в направле­нии поля имеем

. (1.38)

Пусть концентрация электронов равна п, тогда полная плотность тока равна

. (1.39)

Это выражение имеет форму закона Ома. Отсюда имеем

. (1.40)

Для электронов, движущихся со скоростью Ферми, время релаксации равно

. (1.41)

Электропроводность соответственно будет равна

. (1.42)

Это выражение показывает, что электропроводность определяется только электронами на уровне Ферми, а не их полной концентрацией. Большую электропроводность металлов следует объяснять скорее большой величиной тока, переносимого небольшой группой электронов на вершине распределения Ферми, а не высоким значением полной концентрации свободных электронов, которым можно придать небольшую дрейфовую скорость.

1.5. Плазменные колебания электронного газа

Рассмотрим электронный газ в металле с фиксированной концентрацией n. Если в некоторую точку газа мы внесем дополнительный отрицательный заряд, то это приведет к двойному результату. Вследствие кулоновского отталкивания заряд будет вытесняться из непосредственной близости к электрону. Такая перестройка подобна возникновению положительного заряда вокруг электрона. Это в свою очередь означает экранировку заряда электрона. Перестройка, однако, будет только конечным состоянием некоторого динамического процесса. Вначале заряженное облако будет отталкиваться. Из-за дальнодействия кулоновского потенциала вначале перестройка распространится слишком далеко, затем облако заряда вновь сократится и т.д. В электронном газе появятся коллективные колебания относительно положения равновесия с плазменной частотой . Квантованные плазменные колебания называютплазмонами.

Для газа, смещенного как целое на расстояние х, возвращающее поле

, (1.42)

где - поляризация электронного газа.

Следовательно, в отсутствие затухания уравнение движения свободного электрона имеет вид

. (1.43)

Если x и зависят от времени по периодическому закону , то вместо (1.43) получим

. (1.44)

Уравнение (1.44) описывает гармоническое колебание с собственной угловой частотой

. (1.45)

Плазменная частота соответствует довольно большой энергии порядка 10-20 эВ, поэтому такие колебания не возбуждаются при тепловых энергиях. Для плазмы в металле эта частота соответствует ультрафиолетовой области спектра (=0,3 мкм,п=10²⁸ м^-3).

Плазма непрозрачна и полностью отражает излучение с частотой, меньшей чем . Электромагнитная волна с напряженностью полясоздает такую электрическую индукцию, что относительная диэлектрическая проницаемость составляет

, (1.46)

т.к. .

При всех частотах диэлектрическая проницаемость. Это означает, что даже бесконечно малое возмущение вызывает сильные внутренние поля: в электронном газе появляются плазменные колебания.

При частотах величинаотрицательна. Дисперсионный закон

(1.47)

для электромагнитных волн не дает никаких волновых решений при отрицательных . Еслии, то решения уравнения (1.47) имеют вид. Такая волна полностью отражается от среды. Показатель преломленияявляется чисто мнимым. Но еслии, то показатель преломленияN оказывается вещественным - металл становится прозрачным при освещении, нормальным к его поверхности. Этот вывод несколько изменяется при учете рассеяния электронов, однако явление ультрафиолетовой прозрачности щелочных металлов наблюдается на опыте.

Большая частота плазменного резонанса электронного газа означает, что такой газ быстро реагирует на любое изменение распределения заряда. Перераспределение заряда электронного газа обеспечивает экранирование действия любого внесенного извне заряда на расстоянии, большем, чем . Для электронного газа Ферми-Дирака средняя скорость электронов равна.

Радиус экранирования в приближении Томаса-Ферми составит

. (1.48)

Длина экранирования очень близка к 1Å для плотности электронов 10²⁸ м^-3, типичной для многих металлов.

Коллективные плазменные колебания можно возбудить также в диэлектрических пленках. В диэлектриках плазменные колебания физически точно такие же, что и в металлах; электронная жидкость из валентных электронов смещается по отношению к ионным остовам то в одну, то в другую сторону.