Глава 3

Статистика электронов и дырок

в полупроводниках

1. Плотность квантовых состояний в зонах.

Распределение Ферми-Дирака

Предположим, что энергетическая зона имеет единственный минимум в центре зоны Бриллюэна () и что сферические поверхности постоянной энергии в- пространстве распределены вокруг этого минимума по параболическому закону, как того требует скалярная эффективная масса. Тогда для полной энергии электрона в зоне проводимости можно написать

. (3.1)

Выделим шаровой слой в пространстве квазиимпульсов, заключенный между двумя изоэнергетическими поверхностями . Объем этого слоя равен. Объем элементарной ячейки зоны Бриллюэна составляет, гдеV – объем кристалла. Тогда плотность состояний, учитывая две возможности ориентации спина электрона, равна

. (3.2)

Из (3.1) имеем

; . (3.3)

Поэтому плотность состояний для энергий, не слишком превышающих Е_с, составляет

. (3.4)

Рассматривая по прежнему случай изотропного параболического закона дисперсии, для валентной (дырочной) зоны имеем

. (3.5)

Для плотности состояний вблизи края валентной зоны получим

. (3.6)

Вероятность того, что электрон будет находиться в квантовом состоянии с энергией Е, как известно, выражается функцией распределения Ферми-Дирака

. (3.7)

Тогда вероятность того, данное квантовое состояние не занято электроном, т.е. занято дыркой, составит

. (3.8)

Плотность заполненных состояний в зонах меняется с энергией для двух важных предельных случаев.

1. Электронный газ в зоне проводимости вырожден, когда электронов проводимости много, а температура достаточно низка. В этих условиях при вычислении полной концентрации электронов в выражении для функции распределения следует положитьи все электропроводящие свойства определяться изменяющимся числом заполненных состояний ниже уровня Ферми.

2. Электронный газ является невырожденным, или классическим, когда полная концентрация электронов настолько мала (или температура так велика), что в распределении можно считать. Тогда распределение Ферми-Дирака переходит в распределение Больцмана

. (3.9)

Это позволяет при описании поведения электронов и дырок использовать классические подходы.

Таким образом, в невырожденном донорном полупроводнике уровень Ферми лежит в запрещенной зоне ниже дна зоны проводимости по крайней мере на (. Соответственно, акцепторный полупроводник невырожден, если выполняется условие, т.е. если уровень Ферми лежит в запрещенной зоне выше потолка валентной зоны не менее чем на.

2. Концентрация электронов и дырок в зонах

Свободные носители заряда, возникающие в результате теплового возбуждения и находящиеся с решеткой в состоянии термодинамического равновесия, называют равновесными или тепловыми.

Равновесная концентрация электронов в с-зоне может быть найдена следующим образом

, (3.10)

где - плотность электронных состояний, определяемая выражением (3.4).

При значениях энергии выше уровня Ферми функция быстро спадает до нуля. Поэтому, учитывая спиновый множитель 2 и найденный вид функции, имеем

. (3.11)

Введем безразмерные величины

;, (3.12)

где и- энергия Ферми, отсчитанная от дна зоны проводимости (приведенный уровень Ферми) и приведенные в единицахэнергия электрона в зоне проводимости.

С учетом произведенных замен выражение (3.12) преобразуется к виду

, (3.13)

где - эффективная плотность состояний в с-зоне;- интеграл Ферми-Дирака порядка 1/2.

Для невырожденного электронного газа (при или)

. (3.14)

Тогда для концентрации электронов в невырожденном собственном полупроводнике имеем

. (3.15)

Формула (3.15) имеет ясный физический смысл: экспоненциальный множитель соответствует функции распределения по состояниям Максвелла-Больцмана, взятой в точке , тогда величинапредставляет собой эффективное число состояний в зоне проводимости, приведенной к ее дну, т е. к уровню. Формула (3.15) обозначает, что для невырожденного полупроводника концентрация подвижных электронов получается такой же, как если бы, вместо непрерывного распределения состояний в зоне, в каждой единице объема былосостояний с одинаковой энергией.

Выражение для можно представить в более удобном виде

. (3.16)

Аналогично рассуждая, для концентрации дырок в отсутствии вырождения легко получить

, (3.17)

где

(3.18)

- эффективная плотность состояний в -зоне.

3. Концентрация электронов и дырок

в собственном полупроводнике

Собственный полупроводник - это идеально чистый полупроводник, в котором под действием температуры или при оптическом возбуждении часть электронов из валентной зоны перебрасывается в зону проводимости, в результате чего образуется равное количество электронов и дырок. При температуре Т = 0 валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости - свободна.

В собственном полупроводнике справедливо соотношение . Используя выражения (3.15) и (3.17), можем записать

. (3.19)

Концентрация носителей в собственном полупроводнике оказалась не зависящей от положения уровня Ферми. Она увеличивается с ростом температуры по экспоненциальному закону с энергией активации, равной половине ширины запрещенной зоны, т.е. на каждый из носителей приходится энергия в два раза меньше.

Определим теперь температурную зависимость уровня Ферми в собственном полупроводнике. Для этого воспользуемся уравнением электронейтральности

. (3.20)

Тогда для невырожденного полупроводника получим

. (3.21)

Логарифмируя обе части (2.21) и вычисляя значение энергии Ферми, получим

. (3.22)

Если в (3.22) подставить значения и, то получим

. (3.23)

Из (3.22) и (3.23) видно, что в собственном полупроводнике при Т = 0 уровень Ферми находится точно посередине запрещенной зоны, а с ростом температуры движется к той зоне, в которой меньше эффективная масса носителей.

Из температурной зависимости концентрации носителей можно легко определить ширину запрещенной зоны полупроводника Действительно, прологарифмировав выражение (3.19), получим

. (3.24)

Если учитывать только явную температурную зависимость, то в координатах уравнение (3.24) описывает прямую линию. Тангенс угла этой кривой равен половине ширины запрещенной зоны. Ширина запрещенной зоны может быть найдена из условия

. (3.25)

С ростом температуры из-за смещения уровня Ферми к зоне с легкими носителями полупроводник может из невырожденного превратиться в вырожденный. Вырождение в собственном полупроводнике наступает только в том случае, когда эффективные массы носителей иразличаются значительно. Примером такого полупроводника являетсяInSe, в котором .

4. Статистика примесных состояний

в полупроводниках

Содержание донорных или акцепторных примесей изменяет концентрацию носителей заряда в полупроводнике, а значит, и положение уровня Ферми.

Рассмотрим полупровод­ник с одним ти­пом примеси, например, до­норный полупроводник, энер­гетическая схема которого представлена на рис. 3.1. Ог­раничимся областью темпе­ратур, при которых имеет место лишь ионизация при­месных центров, а собствен­ная проводимость отсутствует. Составим уравнение электроней­тральности

, (3.26)

г

Рис. 3.1. Схема электронных состояний донорного и акцепторного полупроводников.

де- концентрация ионизированных доноров,– общее число локальных донорных центров,-кон­центрация электронов на до­норных уровнях. Поскольку переход электронов с донор­ных уровней в зону проводи­мости при ионизации атомов доноров эквивалентен пере­ходу дырок из зоны проводи­мости на донорный уровень, тобудет являться концентрацией дырок, занимающих донор­ные состояния.

Число состояний с энергией E_d в единице объема кристалла будет равно концентрации атомов доноров

, (3.27)

где f_n(E_d) – функцию распределения по примесным состояниям, g – так называемый фактор (степень) вырождения примесного уровня. Для одновалентной донорной примеси, для которой примесный уровень двукратно вырожден, g =2. Примесный уровень E_d может принять только один электрон, но этот электрон может быть захвачен двояким образом в зависимости от направления спина.

Тогда концентрация положительных ионов донорной примеси на донорных уровнях

. (3.28)

Если полупроводник невырожденный, то с учетом (3.15) из (3.26) получим

. (3.29)

Рассмотрим сначала область низких температур. Под низкими температурами будем понимать такие, при которых в знаменателе правой части (3.29) можно пренебречь единицей. Это будет при выполнении условия . Тогда из (3.29) получим

, (3.30)

Следовательно, в невырожденном донорном полупроводнике при T = 0 уровень Ферми располагается посередине между E_d и E_c. С повышением температуры E_F сначала приближается к E_с (пока ), проходит через максимум и удаляется отE_с (когда ) (рис. 3.2 а, областьI).

а)б)

Рис. 3.2. Изменение положения уровня Ферми (а) и концентрации электронов в зоне проводимости (б) с температурой для донорного полупроводника.

Дальнейшее повышение температуры сопровождается ростомN_c и в области температур, когда , уровеньпересекает уровень доноров. Эту область температур называют областью слабой ионизации примеси.

Концентрация электронов в зоне проводимости при низких температурах увеличивается с ростом T по экспоненциальному закону. Действительно, подставив.(3.30) в выражение для концентрации (3.15), получим

. (3.31)

Из (3.31) видно, что в области низких температур зависимость в координатахтакже описывается прямой линией (рис. 3.2 б, областьI), как и в случае собственно проводимости. Из экспериментальных данных в области примесной проводимости можно найти энергию ионизации донорной примеси по наклону кривой

. (3.32)

В интервале более высоких температур концентрация электронов в зоне проводимости не зависит от температуры и равна , что соответствуетобласти истощения донорной примеси. В этой области температурную зависимость уровня Ферми можно установить из условия , откуда с учетом (3.15) имеем

. (3.33) Следовательно, с ростом температуры уровень Ферми удаляется отE_с (рис. 3.2, область II).

При дальнейшем повышении температуры заметный вклад в концентрацию начнут давать электроны, перешедшие в зону проводимости из валентной зоны. При этом становится преобладающей собственная проводимость полупроводника. На рис. рис. 3.2 область III соответствует собственной проводимоти.

Очевидно, что вид зависимости для акцепторного полупроводника с одним типом акцепторов, энергетическая схема которого приведена на рис. 3.1, аналогичен приведенному на рис. 3.2 с заменойE_d на E_а и насоответственно.

Литература

1. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: В 2 т. М.: Мир, 1979.

2. Блейкмор Дж. Физика твердого тела. М.: Мир, 1988.

3. Блат Ф. Физика электронной проводимости в твердых телах. М.: Мир, 1971.

4. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.: Наука, 1977.

5. Брант Н.Б., Чудинов С..М. Электронная структура металлов. Изд-во МГУ, 1973.

6. Горбачев В.В., Спицына Л.Г. Физика полупроводников и металлов. М.: Металлургия, 1976.

7. Гуревич А.Г. Физика твердого тела. СПб.: Невский диалект, 2004.

8. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1966.

9. Зеегер К. Физика полупроводников. М.: Мир, 1977.

10. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978.

11. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. М.: Высш. Шк., 2000.

12. Шалимова К.В. Физика полупроводников. М.: Энергоатомиздат, 1985.

Содержание