Задание 24

Закрепить грузополучателей за поставщиками исходя из условия минимума транспортной работы.

Исходные данные: результат решения по заданию 23 – размещение объектов транспортной сети и кратчайшие расстояния между ними и данные табл. 34–38 указанного задания (грузополучатели и потребность в грузах, грузоотправители и их возможности по отправке).

Решение

Закрепить грузополучателей за грузоотправителями. Для чего, используя данные табл. 34, 36–38, определить возможные грузопотоки между грузоотправителями и грузополучателями и, решая транспортную задачу линейного программирования, произвести оптимальное закрепление. Закрепление выполняют раздельно для каждого вида груза.

Методы решения транспортной задачи [3, с. 52–66], [4, с. 187–193] предусматривают необходимость равенства возможностей грузоотправителей по отправке грузов и потребностей получателей. В реальной жизни чаще случается, что они не равны одно другому. В таком случае задача называется несбалансированной, а для ее решения вводятдополнительного отправителя или получателя, которого называют фиктивным, значение объемов отправки для такого грузоотправителя или потребности в грузе для получателя определяют по формулам:

при ^,

при ^.

Расстояния перевозок для таких отправителей или получателей принимают равными 0.

Для решения задачи используют специальную таблицу – матрицу (табл. 44).

В строках матрицы обозначают грузоотправителей А _i и их возможности по отправке груза, в графах – грузополучателей B _j и их потребности; в клетках на пересечении строк и столбцов соответствующих грузоотправителей и грузополучателей, в правом верхнем углу, расстояния перевозок и в ходе решения – объемы перевозок на участке.

Кроме того, по одному столбцу и строке выделяют для записи величины потенциалов, о чем будет сказано далее.

Порядок решения:

1. первоначальное закрепление;

2. анализ возможностей улучшения решения;

3. проверка оптимальности полученного решения;

4. оформление результата расчета.

1. Первоначальное закрепление потребителей продукции за поставщиками можно выполнить разными методами.

Метод северо-западного угла наиболее прост: закрепление производится с левого верхнего угла таблицы (клетка В₁А₁), по мере удовлетворения потребности получателя или исчерпания ресурса поставщика заполняются последующие клетки, расположенные правее и ниже. Как правило, первый полученный результат далек от оптимального, и требуется многократно выполнять проверку на оптимальность и перерасчет.

Методом двойного предпочтениядля первоначального распределения определяются и помечаются (знаком «+» или другим) клетки с минимальным расстоянием по строке и столбцу. В клетки с двойными пометками заносится необходимая или возможная по ресурсу загрузка, после чего строки и столбцы, в которых исчерпаны потребности или возможности, из рассмотрения исключаются и вновь определяются клетки с двойным предпочтением. Затем процесс повторяется. Данный метод позволяет сократить количество проверок и улучшить план распределения.

Метод Фогелядает возможность получить первое решение, близкое к оптимальному, иногда сразу оптимальное. Закрепление методом Фогеля производится в следующем порядке:

находится разность минимальных расстояний по строкам и столбцам;

в строке или столбце с максимальной разностью определяется клетка с минимальным расстоянием, куда и заносится максимально возможная загрузка; при нескольких одинаковых разностях выявляется клетка с минимальным расстоянием (седловая точка), в которую и заносится загрузка;

после удовлетворения спроса или исчерпания ресурса строка или соответственно столбец из рассмотрения исключаются, пересчитываются разности по строкам и столбцам, и процесс повторяется.

После завершения закрепления определяется объем транспортной работы при полученном распределении

^.

Вариант первоначального закрепления, выполненный методом двойного предпочтения, приведен в табл. 45.

2. Анализ возможностей улучшения решения проводится для уменьшения трудоемкости дальнейшего решения. Целесообразно рассмотреть возможность перемещения загрузки в клетки с меньшим расстоянием перевозки. Такое перемещение допускается, если его можно компенсировать аналогичным перемещением по другой строке (столбцу), и целесообразно, если при этом будет соблюдено условие: сумма расстояний в клетках, откуда перемещается загрузка, больше аналогичной суммы расстояний в клетках, куда перемещается загрузка.

Проверка по строкам показывает, что такая передвижка целесообразна из клетки А₄В₃ в клетку А₂В₃, его компенсирующая передвижка – А₂В₂ → А₄В₂. Количество передвигаемого груза в данном случае составит 25 т, что соответствует значению меньшей загрузки в клетках, откуда перемещается загрузка. Результат передвижения загрузки приведен в табл. 46.

Выигрыш от такого перемещения

∆P= [(14 + 10) – (11 + 11)] · 25 = 50 ткм.

После передвижки загрузки по строкам проверяется возможность аналогичной передвижки по столбцам. Результат перемещения по клеткам В₃А₄ → В₂А₄ и В₂А₁ → В₃А₁ в размере 15 т показан в табл. 46 и 47.

3. Проверка оптимальности распределения производится с помощью вспомогательных показателей, называемых потенциалами.

Потенциалы определяются для столбцов U и строк V из условия, что разность потенциалов V – U = C, то есть для каждой загруженной клетки разность между соответствующими этой клетке потенциалами равна расстоянию, указанному в этой клетке. В соответствии с данным правилом потенциалы рассчитываются в следующей последовательности:

находится загруженная клетка с наибольшим расстоянием;

столбцу, где она расположена, присваивается потенциал, равный нулю;

определяются потенциалы остальных строк и столбцов; при этом для загруженных клеток соблюдаются правила:

для столбцов U = V – C; для строк V = U + C.

Полученные значения потенциалов заносятся в таблицу (табл. 48).

Однако не все потенциалы удалось определить. Потенциалы U₃ и V₁ остались ненайденными. Для того, чтобы все потенциалы можно было найти, необходимо, чтобы число загруженных клеток в матрице N было равно n + m – 1 , где n – число отправителей (основных столбцов); m – число получателей (основных строк).

В случае, если N < n + m – 1, все потенциалы определить невозможно, необходимо искусственно загрузить недостающее количество клеток матрицы, для чего в них записывают ноль. В последующих расчетах с такими клетками оперируют, как с загруженными (табл. 49).

Если же N > n + m – 1, то неоднозначно определяются некоторые потенциалы. В таком случае уменьшают число загруженных клеток.

После определения потенциалов столбцов и строк производят анализ незагруженных клеток, для чего сравнивают разность потенциалов V – U строки и столбца и расстояние С, указанное в клетке. Наличие клеток, для которых разность соответствующих им потенциалов больше расстояния, указанного в клетке, то есть V – U > C, показывает, что распределение не оптимально и план можно улучшить. Для каждой такой клетки определяют число d по формуле:

d = V – U – C.

Клетки, в которых число d положительное, помечают, проставляя в них значение числа d – клетки В₁А₁, В₁А₂ (табл. 50).

Из всех таких клеток выбирают клетку с наибольшим значением числа d. В нашем случае максимальное значение d = 3 в клетке А₁В₁, данной клетке присваивают знак – , она является начальной вершиной контура. Контур представляет собой замкнутую линию, состоящую из прямых горизонтальных и вертикальных отрезков, все вершины которой лежат в загруженных клетках. Клеткам присваивают попеременно знак + или –, пока контур не замкнется на начальной клетке. Форма контура любая, но все углы прямые, пересечения линий не являются вершинами контура (табл. 51).

Из всех клеток, обозначенных знаком +, выбирают наименьшее значение и, отнимая его от загрузок со знаком +, прибавляют к загрузкам со знаком –. В нашем примере загрузка из клетки А₄В₅ (10 т) последовательно по контуру перенесена в клетку А₁В₁ (табл. 52).

В результате получают новый вариант распределения, который вновь проверяют на оптимальность. Один цикл проверки и улучшения плана называют итерацией. Количество итераций зависит от того, насколько близко первоначальное распределение к оптимальному (табл. 53–55).

По достижении оптимального плана вновь определяют величину транспортной работы по формуле на с. 93 и сравнивают с первоначальной.

Если при первоначальном закреплении грузополучателей за грузоотправителями объем транспортной работы составил 2775 ткм (см. табл. 45), в результате перемещения загрузки его удалось снизить до 2710 ткм (см. табл. 48), то после оптимизации грузооборот составил 2640 ткм, что на 135 ткм меньше, чем в первоначальном варианте.

4. Окончательный вариантрасчета оформляют в виде таблицы с реальными наименованиями грузоотправителей и грузополучателей (табл. 56).

Считается, что задачи с размером матрицы n × m > 500 можно решать вручную (опытные специалисты решают их за 2–3 часа), при больших размерах их целесообразно решать с помощью ЭВМ.