Вакарчук І.О. Квантова механіка

Цей вираз, очевидно, можна записати ще й так:

Z Z Z

K(b, a) = dxc e ~i S[b,c]D[x(t)] e ~i S[c,a]D[x(t)]

або

Z

K(b, a) = dxc K(b, c)K(c, a).

Цей закон множення для амплiтуд нагадує множення матриць, а його фiзична суть є прозорою. Перехiд з точки a в точку b можна розбити на два етапи. Перший це перехiд iз початкової точки a в промiжну точку c, а другий iз точки c у кiнцеву точку b. Амплiтуда переходу з a в b є добутком вiдповiдних амплiтуд. Повну амплiтуду отримуємо, коли в ролi промiжної точки c переберемо

всi точки простору (див. рис. 34).

Рис. 34. Траєкторiї переходу частинки з точки a в точку b через промiжну точку c.

Детальнiший запис цього виразу:

Z

K(xb, tb; xa, ta) = dxc K(xb, tb; xc, tc)K(xc, tc; xa, ta).

281

За своїм змiстом амплiтуда K(xb, tb; xa, ta) є нiчим iншим, як хвильовою функцiєю. Фiксуючи початкову точку a, розглядати-

мемо цей вираз як хвильову функцiю

ψ(xb, tb) = K(xb, tb; xa, ta),

яка залежить вiд змiнних у точцi b. Використовуючи попередню

рiвнiсть для хвильової функцiї, можна написати таке iнтеґральне рiвняння:

Z

ψ(xb, tb) = dxc K(xb, tb; xc, tc)ψ(xc, tc).

Як перейти до рiвняння Шрединґера? З цiєю метою розглянемо перехiд вiд хвильової функцiї в момент часу t до її значення в iнший момент часу t + ε при ε → 0.

Домовимось щодо позначень. Нехай tc = t, tb = t + ε, xb = x, xc = y. Тепер iнтеґральне рiвняння для хвильової функцiї набирає

вигляду:

Z

ψ(x, t + ε) = dy K(x, t + ε; y, t)ψ(y, t),

де ядро, вiдповiдно до розбиття часового iнтервалу, яке ми прийняли

282

Робимо тепер наступний крок i, беручи до уваги мализну величини ε, розкладаємо лiву i праву частину цього рiвняння в ряд за ε, зберiгаючи лiнiйнi члени:

Для того щоб просунутись далi, використаємо iнтеґрали:

283

α = −i + δ, δ > 0,

очевидно, iнтеґрали з непарними степенями z дорiвнюють нулевi. Звiдси при δ → 0 знаходимо потрiбнi нам iнтеґрали i маємо:

Для того щоб лiва частина рiвняння дорiвнювала правiй, необхiдно прирiвняти множники при однакових степенях ε:

Перше рiвняння визначає нам сталу величину A при прийнято-

му тут способi розбиття часового iнтервалу. Отже, тим самим ми остаточно фiксуємо визначення амплiтуди ймовiрностей K(b, a)

через багатократний iнтеґрал. Це, своєю чергою, дає змогу проводити її розрахунки чисельними методами на сучасних комп’ю- терах для конкретних модельних систем, задаючи лаґранжiан.

Друге рiвняння помножимо на i~ i отримуємо

Це є не що iнше, як рiвняння Шрединґера. Отже, ми встановили зв’язок методу Фейнмана iнтеґралiв за траєкторiями з хвильовою квантовою механiкою Шрединґера.

Спецiальних переваг пiдхiд Фейнмана не має. Просто це ще одна “картинка” квантової механiки, яка збагачує не лише її математичний апарат таким поняттям як “iнтеґрали за шляхами”, але й наше класичне мислення в намаганнi збагнути квантовi закони.

Тут цiкаво пригадати концепцiю Рене Декарта щодо побудови теорiї спостережуваних явищ. Оскiльки, за Декартом, нам невiдомо, яким iз незчисленних способiв Бог запроваджує якесь фiзичне явище, то й теорiї, що не суперечать досвiду, можуть бути неоднозначними. Мабуть, “картинки” квантової механiки, якi винайшли

284

Гайзенберґ, Шрединґер та Фейнман, є iлюстрацiями цiєї декартової концепцiї.

Ньютон, як вiдомо, був протилежних поглядiв. Говорячи, що не потрiбно брати до розгляду причин бiльше, нiж тих, яких достатньо для пояснення спостережуваних явищ, вiн був за однозначнiсть теорiї без будь-яких гiпотез, ґрунтуючись лише на дослiдi. Викликом цим поглядам є двояка природа свiтла та й узагалi корпускулярно-хвильовий дуалiзм, зрештою, як i декiлька “картинок” класичної механiки крiм рiвнянь Ньютона, маємо рiвняння Лаґранжа, канонiчнi рiвняння Гамiльтона, рiвняння Гамiльтона– Якобi. . .

Вiдступ. Загадки квазiкласичного квантування.

Ми знаємо, що квазiкласичне квантування методом Бора–Зоммерфельда дає точнi вирази для рiвнiв енерґiї En атома водню й гармонiчного осцилято-

ра. Точний результат одержуємо, як легко показати, i для потенцiалу Морзе p

− U2e−x/a, En = −[U2 2ma2/~2U1 − (2n + 1)]2~2/8ma2. Для

iнших задач, наприклад для |x|-осцилятора чи осцилятора “x4”, такого збiгу

результатiв уже немає.

Є ще один цiкавий клас задач, для яких iз квазiкласичних виразiв для En можна “витягти” точнi результати. Зокрема, коли у квазiкласичних вира-

зах для En, обчислених для потенцiалiв U = U0/ cos2(x/a), U = −U0/ch2(x/a)

(див. §23 i Приклад 1 до нього), величину U0 замiнити на U0 + ~2/8ma2, то отримаємо точнi результати. Таке ж перенормування параметрiв U1, U2

( 1 + 8ma2U1/~2 +2n+1)2~2/8ma2 −U22/( 1 + 8ma2U1/~2 +2n+1)2~2/2ma2.

Неважко розгледiти ключ до розкриття цiєї загадки суттю цих перенор-

мувань є додавання енерґiї нульових коливань ~2/8ma2 до сталих множни-

кiв у тих доданках потенцiалу, якi спричинюють малi коливання системи в класичнiй межi. Для пiдтвердження нашого висновку, можна навести й iншi приклади, якi виявляють суперсиметрiю з суперпотенцiалом W i точно

розв’язуються методом факторизацiї (див. §23). Якщо у квазiкласичному роз-

рахунку рiвнiв енерґiї не брати до уваги похiдної W ′ у виразi, який зв’язує W з потенцiалом U, то одержуємо точнi результати ще одна “загадка”.

Квазiкласичний опис не знає нульових коливань, якi є породженням принципу невизначеностей Гайзенберґа, хоча вони частково вже врахованi тим, що в правiй частинi умов квантування Бора–Зоммерфельда входять сталi ν, числове значення яких залежить вiд граничних умов на хвильову функцiю тобто фактично сталi ν привнесенi ззовнi, з то-

чної теорiї. Для великих квантових чисел квазiкласичне наближення дає, як вiдомо, точний результат, i наведенi вище перенормування параметрiв потенцiалу не важливi при n 1. Таке перенормування важливе

для нижнiх рiвнiв i особливо для основного стану. З наведених “загадок” напрошується мiркування щодо способу знаходження точних або близьких до точних виразiв для рiвнiв енерґiї з квазiкласичних формул. Для цього пе-

285

Г Л А В А VI

МОМЕНТ КIЛЬКОСТI РУХУ

§ 32. Оператор повороту i момент кiлькостi руху

Ми вводили оператор моменту кiлькостi руху, виходячи з класичного виразу, пiдставляючи в нього, замiсть координат та iмпульсiв, вiдповiднi оператори. У класичнiй механiцi, як вiдомо, момент кiлькостi руху, або момент iмпульсу, виникає як iнтеґрал руху, пов’язаний з iзотропiєю простору. Це також є справедливим у квантовiй механiцi.

Iнтуїтивно зрозумiло, що властивостi будь-якої замкненої фiзичної системи не залежать вiд того, з якого боку ми дивимось на неї. Це наслiдок того, що всi напрямки в просторi є еквiвалентними кажуть, що простiр є iзотропним. Отже, оператор Гамiльтона такої системи не повинен змiнюватись при її поворотах як цiлого на будь-який кут навколо довiльної осi. Нехай при такому поворотi радiус-вектор r, вiд якого залежить хвильова функцiя ψ(r), змiнюється на величину δr, а хвильова функцiя набуває значення ψ(r + δr). Цю змiну хвильової функцiї можна зобразити як

дiю на неї оператора змiщення:

ψ(r + δr) = e(δr )ψ(r).

Нехай поворот здiйснюється на кут δϕ навколо осi, напрям якої фiксується одиничним вектором n, що утворює з радiус-векто- ром r кут величиною θ, як це зображено на рис. 35. З нього видно,

що величина змiщення

|δr| = ρ δϕ, ρ = r sin θ.

Отже, вираз

|δr| = r sin θ δϕ

287

можна трактувати як модуль вектора, що є результатом векторного добутку вектора δϕ = nδϕ та радiус-вектора r:

δr = [δϕ r].

Рис. 35. Операцiя повороту на кут δϕ навколо осi з нарямком n.

є оператором орбiтального моменту кiлькостi руху. Iнша назва цiєї величини момент iмпульсу, часто ще говорять просто кутовий момент.

Тепер маємо

будемо називати оператором повороту на кут δϕ навколо осi з напрямком n. Багатократне повторення повороту на елементарний кут дає поворот на скiнченний кут ϕ:

288

Твердження про те, що властивостi замкненої системи не залежать вiд поворотiв, означає, що з хвильового рiвняння Шреди-

Таким чином, проекцiї моменту кiлькостi руху є iнтеґралами руху. Отже, з iзотропностi простору випливає закон збереження моменту кiлькостi руху (теорема Нетер)1.

Випишiмо явний вигляд операторiв проекцiї моменту кiлькостi

1Див. §17 та виноски на с. 168.

289

Нагадаємо також комутацiйнi спiввiдношення для цих операторiв, якi випливають з означення:

Цiкаво, що сукупнiсть цих трьох спiввiдношень можна записати як одне через векторний добуток

[ˆ ˆ] = i~ˆ.

LL L

Для звичайних векторiв, не операторiв, такого спiввiдношення не iснує: такий добуток просто дорiвнює нулевi.

Наведемо ще декiлька важливих операторних спiввiдношень зi скалярними й векторними добутками, якi легко довести. Перше таке:

290