Вакарчук І.О. Квантова механіка

Рис. 28. Фiнiтний рух частинки. Заштрихованi околи точок поворотуобласть незастосовностi квазiкласичного наближення.

Формально вважатимемо, що наша хвильова функцiя ψ(x) є функцiєю комплексної змiнної x. Перехiд через точку повороту справа

налiво здiйснимо не вздовж дiйсної осi, а по контуру в комплекснiй площинi так, щоб зберегти умову квазiкласичностi.

Вiзьмемо будь-яке значення x на дiйснiй осi справа вiд точки повороту x2 i здiйснимо навколо неї додатний обхiд за контуром

у верхнiй пiвплощинi, який є пiвколом достатньо великого радiуса i зображений суцiльною лiнiєю на рис. 29.

Рис. 29. Контури обходу точки повороту x2 на комплекснiй площинi.

261

При цьому ми потрапляємо в точку x на дiйснiй осi злiва вiд точки повороту x2. При такому обходi рiзниця (x − x2) отримує

додаткову фазу величиною π: x − x2 → |x − x2|eiπ. З урахуванням розкладу потенцiальної енерґiї в околi x2

U(x) = U(x2) + U′(x2)(x − x2) + · · · , U(x2) = E,

Хвильова функцiя справа вiд точки x2 переходить при цьому у другий доданок хвильової функцiї, заданої для x1 < x < x2,

Саме цей другий доданок є головним при обходi за контуром у

чим при заглибленнi у верхню пiвплощину тому, що показник експоненти має велику вiд’ємну дiйсну частину. Тому його не беремо до уваги. Отже, ми знайшли зв’язок мiж сталими C2 та C.

Для встановлення зв’язку мiж C1 i C повторимо попередню

процедуру, здiйснюючи за годинниковою стрiлкою вiд’ємний обхiд за контуром у нижнiй пiвплощинi. На рис. 29 це штрихований контур. Ми отримаємо тепер, що функцiя ψ(x) справа вiд x2

262

переходить у перший доданок осцилюючого розв’язку для x < x2

з коефiцiєнтом

C iπ

C1 = 2 e 4 .

Таким чином, ми можемо записати хвильову функцiю злiва вiд x2

у такому виглядi:

x < x2.

Пiдкреслимо, що ми не зшиваємо хвильовi функцiї в точцi x2,

заданi злiва i справа вiд неї, оскiльки вони обидвi в точцi повороту позбавленi змiсту (маємо нуль у знаменнику). Мова йде про взаємну вiдповiднiсть одної до другої злiва i справа вiд x2.

Усi цi мiркування можна застосувати i бiля точки повороту x1. Отже, злiва вiд точки x1 маємо загасаючу з вiддаленням вiд неї

хвильову функцiю

2|p|

x < x1,

ав областi x > x1 осцилюючий розв’язок:

Застосовуючи попереднi викладки з вiдповiдними перепозначеннями, знаходимо, що ця функцiя записується у виглядi

Виникла ситуацiя, коли для x1 < x < x2 маємо двi хвильовi функцiї, знайденi як функцiї x злiва вiд x2 та справа вiд x1. Але

вони описують той самий стан у класично доступнiй областi. Тому з умови однозначностi хвильової функцiї доходимо висновку, що

263

цi двi функцiї мають дорiвнювати одна однiй, а тому повинна виконуватись умова

Мiняючи мiсцями межi iнтеґрування, перепишемо цю умову так:

Ця рiвнiсть виконується для довiльних значень x мiж точками x1 та x2, а тому сума арґументiв косинусiв повинна бути кратною до

π:

Цей iнтеґрал з двiйкою є нiчим iншим, як iнтеґралом за повним

перiодом класичного руху частинки:

I

p dx = 2π~(n + 1/2), n = 0, 1, 2, . . . .

Це i є умова квантування Бора–Зоммерфельда зi старої квантової механiки. У класичнiй механiцi цей iнтеґрал вiдомий як адiабатичний iнварiант, тобто величина, яка при повiльнiй (адiабатичнiй) змiнi параметрiв функцiї Гамiльтона залишається сталою. У межах старої квантової механiки П. Еренфест надавав великого значення зв’язку адiабатичних iнварiантiв iз квантуванням. Iнтеґраловi H p dx можна надати простий геометричний змiст це

є площа, обмежена фазовою траєкторiєю частинки в координатах (x, p). Для перiодичного руху, який тут розглядаємо, фазо-

ва траєкторiя є замкненою. При цьому умова квантування Бора– Зоммерфельда зводиться до умови, що площа фазового простору,

264

вiднесена до елементарного кванта дiї h = 2π~, є цiлим числом з точнiстю до 1/2 (див. рис. 30):

H

Число 1/2 виникає внаслiдок виконання граничних умов у рiв-

няннi Шрединґера.

Квазiкласична умова квантування застосовна лише при великих значеннях n. Дiйсно, як випливає з виразу для хвильової функцiї ψ(x), коли x1 < x < x2, число n визначає кiлькiсть її вузлiв, а

вiдстань мiж ними за порядком величини дорiвнює довжинi хвилi де Бройля. Дебройлiвська довжина хвилi, згiдно з умовами квазiкласичностi, повинна бути малою величиною, оскiльки iмпульс має бути великим. Для забезпечення цiєї умови ми змушенi вимагати, щоб кiлькiсть вузлiв була великою, тобто великим повинне бути квантове число n.

Знайдене правило квантування узагальнюється на систему з багатьма ступенями вiльностi, коли можливе роздiлення змiнних. Для кожного ступеня вiльностi має силу виписана умова квантування, якщо пiд координатою та iмпульсом розумiти узагальнену координату q та вiдповiдний їй iмпульс p:

причому величина ν < 1 залежить вiд граничних умов задачi в

точках повороту. Цi умови диктує характер потенцiальної енерґiї: наприклад, для вертикальної “стiнки” в однiй з точок повороту

ν= 3/4, а для обох ν = 0, n ≥ 1. Це видно з того, що в першому

випадку хвильова функцiя дорiвнює нулевi (наприклад, злiва вiд

точки x1), тому ψ(x1) = 0 i наша функцiя ψ(x) для x > x1 має фазу не π/4, а π/2, що дає ν = 3/4. У другому випадку обидвi функцiї, i для x < x2 i для x > x1 мають фази рiвнi π/2, тому

ν= 0.

Умову квантування можна, зрозумiло, записати й через подвiйний iнтеґрал

Z Z

dq dp = 2π~(n + ν),

де iнтеґрування проводимо по площi, яка обмежена фазовою траєкторiєю для енерґiї E.

265

Рис. 30. Правило квантування Бора–Зоммерфельда: на площi, яка обмежена фазовою траєкторiєю, умiщається цiле число квантiв дiї h.

Повернемось до хвильової функцiї. Сталу нормування C ви-

значаємо з умови

Z

|ψ(x)|2 dx = 1,

причому до уваги беремо лише внесок вiд областi x1 ≤ x ≤ x2, не-

хтуючи експоненцiально малими внесками за межами цього промiжку:

Розписуючи квадрат косинуса через косинус подвiйного кута, маємо:

Внеском вiд другого iнтеґрала також нехтуємо, оскiльки за умовою квазiкласичностi iмпульс p = p(x) набуває великих значень, а

отже синус є швидкоосцилюючою функцiєю i внаслiдок цього величина iнтеґрала є незначною. Перший iнтеґрал записуємо через перiод коливань

T = 2m Z x2 dx,

x1 p

266

своєю чергою T = 2π/ω, ω циклiчна частота, яка залежить вiд енерґiї E, i таким чином маємо, що

Цей вираз є не що iнше, як рiвняння елiпса в координатах (x, p). Площу,

звiдки й отримуємо добре вiдомi рiвнi енерґiї гармонiчного осцилятора

E = ~ω(n + 1/2), n = 0, 1, 2, . . .

Для “обрiзаного осцилятора” з умовою x ≥ 0, беремо пiвплощi елiпса i сталу ν = 3/4 вiдповiдно до того, що одна точка повороту при x = 0 є вертикальною стiнкою. Тепер умова квантування дає: E = 2~ω(n + 3/4) або

E = ~ω(n′ + 1/2), де квантове число n′ = 2n + 1 набуває лише непарних значень, n′ = 1, 3, 5, . . ..

267

Приклад 2. Ангармонiчний осцилятор “|x|k”. Енерґiя такої системи

22m(E − α|x|k) dx = 2π~(n + 1/2),

Згiдно з принципом вiдповiдностi цей вираз є точним у границi великих значень квантового числа n.

Розгляньмо кiлька конкретних випадкiв. При k = 2 очевидно отримуємо

енерґiю для гармонiчного осцилятора з попереднього прикладу. Для осцилятора “x4” при k = 4 знаходимо

При n = 0 звiдси одержуємо енерґiю основного стану

Цiкаво порiвняти цей вираз з оцiнкою знизу для E, яку ми знайшли в При-

кладi 2 до §7.

Для “|x|”-осцилятора (k = 1) енерґiя

E = ~2α2 1/3 3π (n + 1/2) 2/3 2m 4

268

збiгається з точним результатом з §24 при великих значеннях квантового числа n; для основного стану (n = 0) наш квазiкласичний вираз дає

а точний числовий коефiцiєнт дорiвнює 1.018793.

Квазiкласичний закон квантування маси чорної дiри (див. Приклад 2 до §9) M отримуємо з нашого загального виразу для E, покладаючи в ньому

m = 1, ~ = 1, α = (3/2)2/3/2, k = 2/3; крiм того, враховуємо, що одна точка повороту, x1 = 0, є вертикальною стiнкою, тому в умовах квантування стала ν = 3/4, а вираз у квадратних дужках множимо на 2, оскiльки iнтеґрал беремо в межах (0, x2) i вiн є удвiчi меншим:

p

E = 2n + 3/2,

p

при n = 0, E = 3/2. Нагадаємо, що в розмiрних одиницях величина E = p

M/ ~c/G.

Нарештi розгляньмо великi значення показника k. Для цього величину α

записуємо так: α = V0/xk0 , V0 масштаб енерґiї, x0 масштаб довжини. У результатi при k → ∞ приходимо до задачi про рух частинки в ямi з безмежно високими стiнками й шириною a = 2x0. При цьому стала величина ν в умовах

квантування дорiвнює нулевi й енерґiя

E = ~2 π 2 n2. 2m a

Цей вираз збiгаєтся з точною формулою з §20.

Приклад 3. Атом водню. Рух електрона в атомi з потенцiальною енерґiєю

U = −e2/r, унаслiдок закону збереження моменту iмпульсу L у центрально-

симетричному полi (другий закон Кеплера), вiдбувається в площинi, перпендикулярнiй до вектора L. Кулонiвський характер потенцiалу забезпечує рух

електрона за елiптичними орбiтами (перший закон Кеплера). Кiнетична енер-

ґiя електрона в полярних координатах mv2/2 = m(r˙ + r2ϕ˙ 2)/2, де r довжина радiус-вектора, ϕ полярний кут (0 ≤ r < ∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π). Крапками позначено похiднi за часом. Уведiмо канонiчно спряженi iмпульси pr = mr˙,

pϕ = mr2ϕ˙ i запишiмо повну енерґiю електрона в такому виглядi:

Узагальнений iмпульс pϕ чисельно дорiвнює моментовi кiлькостi руху L.

Маємо два ступенi вiльностi i отже, двi умови квантування Бора– Зоммерфельда:

I

pϕ dϕ = 2π~nϕ,

I

pr dr = 2π~nr ,

269

де nϕ азимутальне квантове число, nr радiальне квантове число. Заува-

жимо, що ми опускаємо в правих частинах умов квантування сталi величини νϕ, νr (0 ≤ νϕ < 1, 0 ≤ νr < 1), точнi значення яких залежать вiд граничних

умов для хвильової функцiї. Для одновимiрного руху, як ми бачили, ця стала дорiвнює 1/2.

Величина pϕ є iнтеґралом руху, pϕ = const. Тому перша умова квантування дає pϕ = ~nϕ, nϕ = 1, 2, 3, . . . . Значення nϕ = 0 ми повиннi вилучити,

оскiльки це вiдповiдає руховi електрона по прямiй лiнiї крiзь ядро (“маятникова” орбiта), що, за класичними уявленнями, неможливо.

nr = 0, 1, 2, . . . . Тут r1, r2 точки повороту, якi визначаємо з умови рiвностi

нулевi пiдкореневого виразу, розв’язуючи при цьому квадратне рiвняння:

ексцентриситет елiпса. Тепер пiдкореневий вираз

i для обчислення iнтеґрала зробимо замiну змiнної

ϕ = 0 при r = r1, ϕ = π при r = r2. Якщо використати значення r1, r2, то

наша пiдстановка має вигляд: r = p/(1 + ǫ cos ϕ), p = p2ϕ/me2 елiпс.

Простi перетворення дають для другої умови квантування:

270